Ряды Эйзенштейна

Ряды Эйзенштейна, названные в честь немецкого математика Фердинанда Эйзенштейна — специальные простые примеры модулярных форм, задаваемые как сумма явно выписываемого ряда.

Определение

Ряд Эйзенштейна $G_{2k}$ веса $2k$ — функция, определённая на верхней полуплоскости $\{Im(\tau )>0\}\subset \mathbb {C}$ и заданная как сумма ряда

$G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.$

Этот ряд абсолютно сходится к голоморфной функции переменной $\tau$.

Свойства

Модулярность

Ряд Эйзенштейна задаёт модулярную форму веса $2k$: для любых целых $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ с $ad-bc=1$ имеем

$G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau ).$

Это следует из того, что ряд Эйзенштейна можно представить как функцию от порождённой 1 и τ решётки $\Gamma =\langle 1,\tau \rangle$, продолжив его на всё пространство решёток:

$G_{2k}(\Gamma )=\sum _{z\in \Gamma \setminus \{0\}}z^{-2k}.$

Тогда $G_{2k}(\lambda \Gamma )=\lambda ^{-2k}G_{2k}(\Gamma ).$ Соотношение модулярности тогда соответствует переходу от базиса $\{\tau ,1\}$ к базису $\{a\tau +b,c\tau +d\}$ той же решётки (что не изменяет значения $G_{2k}(\Gamma )$) и нормированию второго элемента нового базиса на 1.

Представление модулярных форм

Более того, как оказывается, любая модулярная форма (произвольного веса $2m$) выражается как полином от $G_{4}$ и $G_{6}$:

$f=\sum _{4k+6l=2m}a_{k}G_{4}^{k}G_{6}^{l}.$

Связь с эллиптическими кривыми

$\wp$-функция Вейерштрасса эллиптической кривой $E=\mathbb {C} /\Gamma$ раскладывается в ряд Лорана в нуле как

$\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}(\Gamma )z^{2k}.$

В частности, модулярные инварианты кривой E равны

$g_{2}=60G_{4},\quad g_{3}=140G_{6}.$

Литература

• А. Вейль, Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру, (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1976), пер.с англ. Ю. И. Манина, М.: «Мир», 1978:
• Серр Ж.-П., Курс арифметики. М.: Мир, 1972.
• Кубота Т. Элементарная теория рядов Эйзенштейна. - М., Наука, 1986. - 136 c.