Открыть главное меню

Ряд обратных квадратовбесконечный ряд:

Задача нахождения суммы этого ряда долгое время оставалась нерешённой. Поскольку внимание европейских математиков на данную проблему обратил базельский профессор математики Якоб Бернулли (1689 год), в истории она нередко называется «базельской задачей» (или «базельской проблемой»). Первым сумму ряда сумел найти в 1735 году 28-летний Леонард Эйлер, она оказалась равна

(см. A013661).

Решение данной проблемы не только принесло молодому Эйлеру мировую славу, но и оказало значительное влияние на дальнейшее развитие анализа, теории чисел, а впоследствии — комплексного анализа. В очередной раз (после открытия ряда Лейбница) число вышло за пределы геометрии и подтвердило свою универсальность. Наконец, ряд обратных квадратов оказался первым шагом к введению знаменитой дзета-функции Римана[1].

Содержание

ИсторияПравить

Впервые рассуждения о ряде обратных квадратов историки обнаружили в работах итальянского математика Пьетро Менголи (1644), но тогда задача не вызвала общего интереса. Позднее найти сумму ряда безуспешно пытались многие выдающиеся математики, в том числе Лейбниц, Стирлинг, де Муавр, братья Якоб и Иоганн Бернулли. Они вычислили несколько значащих цифр суммы ряда, Якоб Бернулли строго доказал, что ряд сходится к некоторому конечному значению, однако никто не смог определить, с чем это значение могло бы быть связано[2].

 
Леонард Эйлер

Якоб Бернулли призвал в своей книге «Арифметические предложения о бесконечных рядах» (1689): «Если кому-либо удастся найти то, что до сих пор не поддавалось нашим усилиям, и если он сообщит это нам, то мы будем очень ему обязаны»[1][3]. Но при жизни Якоба Бернулли решение так и не появилось.

Первым успеха добился Эйлер, спустя почти полвека после обращения Бернулли. Скорее всего, о данной проблеме Эйлеру рассказал Иоганн Бернулли, брат Якоба. Эйлер сообщил об открытии в заметке «О суммах обратных рядов» (De summis serierum reciprocarum, Commentarii, 1735 год)[4] для журнала Петербургской академии наук. Найденное им значение суммы Эйлер также сообщил письмом своему другу Даниилу Бернулли, сыну Иоганна Бернулли[5]:

Недавно я нашёл, и совсем неожиданно, изящное выражение для суммы ряда, связанного с квадратурой круга… А именно, шестикратная сумма этого ряда равна квадрату периметра круга, диаметр которого 1.

Даниил рассказал отцу, который выразил сомнение в справедливости эйлеровского разложения синуса в бесконечное произведение (см. ниже). Поэтому в 1748 году Эйлер более строго обосновал результат в своей монографии «Введение в анализ бесконечно малых» (Introductio in analysin infinitorum, том I, глава X)[6].

Для контроля Эйлер вычислил вручную сумму ряда с 20 знаками (видимо, используя формулу Эйлера — Маклорена, так как ряд обратных квадратов сходится довольно медленно). Далее он сопоставил сумму со значением   используя уже известное в тот период приближённое значение числа  , и убедился, что оба значения, в пределах точности счёта, совпадают[7]. Впоследствии (1743) Эйлер опубликовал ещё два разных способа суммирования ряда обратных квадратов[8], один из них описан ниже как 4-й способ из книги Г. М. Фихтенгольца.

Доказательство сходимости рядаПравить

Достаточно доказать, что сходится ряд:

 

потому что каждое слагаемое в нём (кроме первого) больше, чем в ряде обратных квадратов. Представим новый ряд в виде:

 

Очевидно, частичная сумма   этого ряда равна   поэтому ряд сходится, и его сумма равна 2. Следовательно, и ряд обратных квадратов сходится к некоторому числу в интервале (1, 2).

Метод Эйлера для нахождения суммы рядаПравить

К концу XVII века, благодаря работам Ньютона и других математиков, было известно разложение в ряд функции синуса:

 

Эйлер сумел получить другое разложение синуса — не в сумму, а в бесконечное произведение:

 

Приравняв оба выражения и сократив на   получим:

  (1)

Поскольку это тождество выполняется при всех   коэффициенты при   в обеих его частях должны быть равны:

 

Умножив обе части равенства на   окончательно получаем[9]:

 

Альтернативные способы нахождения суммыПравить

Ряд ФурьеПравить

Аппарат разложения в ряд Фурье в применении к функции   позволяет особенно легко и быстро получить сумму ряда обратных квадратов. Для чётной функции это разложение имеет следующий общий вид:

 

Вычислим коэффициенты   по стандартным формулам:

 

В итоге разложение приобретает вид:

 

Подставив в эту формулу   получаем

  или:
 

Разделив на 4, получим окончательный результат.

Если вместо   подставить   получится ещё одна сумма:

 

Другой путь к решению задачи — использовать равенство Парсеваля для функции  .

Методы из курса анализа Г. М. ФихтенгольцаПравить

Во втором томе трёхтомного «Курсе дифференциального и интегрального исчисления» Г. М. Фихтенгольца приводятся несколько способов суммирования ряда обратных квадратов[10].

Первый способ (стр. 461) основан на разложении арксинуса:

 

При   получаем

 

Но ранее в томе 2 (стр. 340) было показано, что левая часть последнего уравнения равна трети суммы ряда обратных квадратов, откуда получаем сумму ряда.

Второй способ (стр. 490) по существу совпадает с приведенным выше методом Эйлера.

Третий способ замечателен тем, что сразу даёт суммы всех рядов обратных чётных степеней:

 

Он основан на двух формулах разложения гиперболического котангенса. Первая (стр. 484) справедлива при  :

 

Вторая (стр. 495) связывает гиперболический котангенс с числами Бернулли  :

 

Приравнивая одинаковые степени в обеих формулах, получаем формулу связи сумм рядов с числами Бернулли:

 

Для  , с учётом   получаем ожидаемый результат.

Четвёртый способ (стр. 671), найденный ещё Эйлером в 1741 году, основан на интегрировании рядов. Обозначим:

 

Воспользуемся разложением арксинуса в ряд для промежутка [0, 1]:

 

Этот ряд сходится равномерно, и можно интегрировать его почленно:

 

Первый интеграл равен 1, а второй после подстановки   оказывается равен   поэтому получаем:

 

Эта сумма содержит обратные квадраты нечётных чисел. Нужная нам сумма   ряда всех обратных квадратов состоит из двух частей, первая из которых равна   а вторая содержит обратные квадраты чётных чисел:

 

То есть   откуда:  

Другие подходыПравить

Огюстен Луи Коши в 1821 году предложил оригинальный и строгий, хотя довольно сложный, метод суммирования ряда[11]. См. подробное изложение в статье И. В. Терещенко[12].

В статье К. П. Кохася[9] приводятся несколько различных способов суммирования ряда: через интегралы, комплексные вычеты, гамма-функцию, разложение арксинуса или котангенса, возведение в квадрат ряда Лейбница. Ещё одна коллекция методов суммирования изложена в статье Чепмена[13].

Вариации и обобщенияПравить

Исходя из формулы (1), Эйлер рассчитал суммы не только для ряда обратных квадратов, но и для рядов из других чётных степеней, вплоть до 26-й, например[1]:

 
 

и т. д. Эйлер также выяснил, что суммы таких рядов связаны с числами Бернулли следующим образом[6]:

 

где   — числа Бернулли.

Эйлер просуммировал и модификацию ряда обратных квадратов, содержащую (в знаменателях) квадраты или иные чётные степени нечётных чисел[14]; суммы рядов оказались также связаны с числом  

Для рядов из нечётных степеней теоретическое выражение их сумм до сих пор не известно. Доказано лишь, что сумма ряда обратных кубов (постоянная Апери) — иррациональное число[1].

Если рассматривать показатель степени в общем ряде обратных степеней как переменную (не обязательно целочисленную), то получится дзета-функция Римана, играющая огромную роль в анализе и теории чисел:

 

Таким образом, сумма ряда обратных квадратов есть   Первые исследования свойств дзета-функции выполнил Эйлер. В 1859 году появилась глубокая работа Бернхарда Римана, которая расширила определение дзета-функции на комплексную область. На основе тождества Эйлера Риман детально рассмотрел связь дзета-функции с распределением простых чисел.

В 1768 году Эйлер предложил ещё одно обобщение ряда обратных квадратов — дилогарифм Эйлера[15]:

 

ЛитератураПравить

  • Дуран, Антонио. Поэзия чисел. Прекрасное и математика. — М.: Де Агостини, 2014. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 27). — ISBN 978-5-9774-0722-9.
  • Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. II. — С. 461—462, 490, 496, 671. — 800 с. — ISBN 5-9221-0155-2.

СсылкиПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 4 Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — С. 90—92, 103—109. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
  2. Leonhard Euler biography. Дата обращения 16 апреля 2016.
  3. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — Изд. 2-е, исправленное. — М.: Наука, 1975. — С. 40.
  4. E41 -- De summis serierum reciprocarum. Дата обращения 17 апреля 2016.
  5. Наварро, Хоакин. До предела чисел. Дата обращения 10 августа 2016.
  6. 1 2 История математики, том III, 1972, с. 337.
  7. Антонио Дуран, 2014, с. 109.
  8. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — С. 143—144. — 468 с.
  9. 1 2 Кохась К. П., 2004.
  10. Фихтенгольц Г. М., 1966.
  11. Cauchy A. L. Cours d'analyse de l'École royale polytechnique I.re partie: Analyse algébrique. — Paris: Impr. royale Debure frères, 1821. — 576 p.
  12. Терещенко И. В. Базельская задача i. Метод Коши и его обобщение для вычисления сумм чисел обратных четвёртой степени // Научные труды КубГТУ. — 2014. — № №2.
  13. Robin Chapman.
  14. Жуков А. В. Вездесущее число «пи». — 2-е изд. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — С. 145. — 216 с. — ISBN 978-5-382-00174-6.
  15. Leonhard Euler, Institutiones calculi integrals