Открыть главное меню
Сапог Шварца () в Немецком техническом музее

Сапог Шварца (от нем. Schwarzscher Stiefel) — семейство приближений кругового цилиндра с помощью полиэдральных поверхностей.

Предельная площадь этих приближений может быть сделана произвольно большой. Эта конструкция позволяет увидеть несостоятельность определения площади поверхности как точной верхней грани площадей вписанных в неё полиэдральных поверхностей, в противоположность тому, что длина кривой может быть определена как точная верхняя грань длин вписанных в неё ломаных.

Содержание

ИсторияПравить

Данная конструкция предложена Карлом Шварцем и использовалась Шарлем Эрмитом в его курсе лекций в 1881—82. [1]

КонструкцияПравить

Высота цилиндра делится плоскостями, параллельными основаниям, на   равных частей. В образовавшиеся сечения (окружности) вписываются правильные  -угольники, причём соседние  -угольники повёрнуты относительно друг друга на угол   чтобы вершины вышележащего  -угольника находились над серединами сторон нижележащего  -угольника. Затем вершины  -угольников соединяются так, что образуется поверхность из   треугольников; каждый её «слой» — антипризма. Полученная многогранная поверхность называется сапогом Шварца.

Если  , то размеры этих треугольников становятся сколь угодно малыми, то есть сапог Шварца стремится к цилиндру.

СвойстваПравить

 
Сапог Шварца
  • Простой подсчёт показывает, что
    • при   площадь, то есть сумма площадей всех треугольных граней сапога Шварца, стремится к бесконечности.
    • при   площадь сапога Шварца, стремится к площади кругового цилиндра.
  • Относительно его внутренней метрики, сапог Шварца изометричен некоторому круговому цилиндру.

ПримечанияПравить

  1. Schwarz, H. A., «Sur une définition erronée de l’aire d’une surface courbe», Gesammelte Mathematische Abhandlungen, 1 (1890), 309—311

ЛитератураПравить