Сателлитный узел

Сателлитный узел — конструкция позволяющая построить новый узел из двух узлов с определёнными дополнительными структурами. Эта конструкция включает связную сумму узлов а также удвоение Уайтхеда как частные случаи.

Удвоение Уайтхеда восьмёрки — пример сателлитного узла.
Другой пример сателлитного узла для связной суммы вольмёрки и трилистника.

ПостроениеПравить

Сателлитный узел   можно описать следующим образом: начните с нетривиальныого узла   лежащего внутри незаузленного полнотория  . «Нетривиальный» означает, что   не может лежать в шаре вложенном в   и не изотопен центральной кривой полнотория. Затем завязать полноторие в нетривиальный узел. То есть применить нетривиальное вложение  , такое, что и  . При этом образ центральной кривой полнотория   называется компаньёном  .

Обычно дополнительно предполагают, что вложение   раскрученно, то есть   не меняют индекс зацепления двух окружностей в  .

ИсторияПравить

В 1949 году Хорст Шуберт[en] доказал[1], что каждый ориентированный узел в   разлагается в связную сумму узлов и это разложение единственно с точностью до перестановки. Вскоре после этого, он понял, что может дать новое доказательство этой теоремы анализируя несжимаемые торы, в дополнении к связной сумме. Это привело его к исследованию общих несжимаемых торов в дополнении узла, и к определению сателлитного узла[2]

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Schubert, H. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten. S.-B Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1949 (1949), 57–104.
  2. Schubert, H. Knoten und Vollringe. Acta Math. 90 (1953), 131–286.