Сбалансированное простое

Сбалансированное простое — это простое число, для которого интервалы между простыми числами слева и справа от числа равны, так что число равно среднему арифметическому ближайших простых. Алгебраически, если дано простое число $p_{n}$, где n — индекс в упорядоченном множестве простых чисел,

$p_{n}={{p_{n-1}+p_{n+1}} \over 2}.$

Примеры

Первые сбалансированные простые числа

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103 (последовательность A006562 в OEIS).

Например, 53 — шестнадцатое простое число. Пятнадцатое и семнадцатое числа —47 и 59, их сумма равна 106, а половина этой суммы равна 53, то есть 53 является сбалансированным простым.

Если 1 считать простым числом, 2 будет также сбалансированным простым числом

$2={1+3 \over 2}.$

Бесконечность

Есть гипотеза, что существует бесконечно много сбалансированных простых чисел.

Три последовательных простых числа в арифметической прогрессии иногда называется CPAP-3 (consecutive primes in arithmetic progression = последовательные числа в арифметической прогрессии). Сбалансированное простое число, по определению, второе число в CPAP-3. На 2014 год наибольшее известное CPAP-3 имеет 10546 знаков и нашёл его Дэвид Бродхёрст. Это число равно

$p_{n}=1213266377\times 2^{35000}+2429,\quad p_{n-1}=p_{n}-2430,\quad p_{n+1}=p_{n}+2430.$

Значение n (индекс в последовательности простых чисел) не известно.

Обобщение

Сбалансированные простые можно обобщить до сбалансированных простых порядка n. Сбалансированное простое порядка n — это простое число, равное арифметическому среднему ближайших n чисел (слева и справа от числа). Алгебраически, если задано простое число $p_{k}$, где k — это индекс в упорядоченной последовательности простых чисел,

$p_{k}={\sum _{i=1}^{n}({p_{k-i}+p_{k+i})} \over 2n}.$

При этом определении обычное сбалансированное число — это сбалансированное число порядка 1. Последовательности сбалансированных чисел порядка 2, 3 и 4 задаются последовательностями A082077, A082078 и A082079 соответственно.

См. также

• Сильное простое число, простое число, которое больше арифметического среднего двух соседних простых чисел