Алгебра над кольцом

Алгебра над кольцом — алгебраическая система, которая является одновременно модулем над этим кольцом и кольцом сама по себе, причём эти две структуры взаимосвязаны. Понятие алгебры над кольцом является обобщением понятия алгебры над полем, аналогично тому как понятие модуля обобщает понятие векторного пространства.

Определения править

Пусть $K$ — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Модуль $A$ над кольцом $K$ , в котором для заданного билинейного отображения (билинейного не над полем, а над кольцом $K$ ) $f\colon A\times A\rightarrow A$ определено произведение согласно равенству $ab=f(a,b)$ , называется алгеброй над $K$ или $K$ -алгеброй.

Согласно определению, для всех $k,\;l\in K$ и $a,\;b,\;c\in A$ справедливы соотношения:

$a(b+c)=ab+ac$
$(a+b)c=ac+bc$
$(k+l)a=ka+la$
$k(a+b)=ka+kb$
$k(la)=(kl)a$
$k(ab)=(ka)b=a(kb)$
$1a=a$ , где $1$ — единица кольца $K$

Относительно операций сложения и умножения алгебра является кольцом.

Для $a$ , $b\in A$ коммутатор определён равенством $[a,b]=ab-ba$ . $K$ -алгебра называется коммутативной, если $[a,b]=0$ .

Для $a,b,c\in A$ ассоциатор определён равенством $(a,b,c)=(ab)c-a(bc)$ . $K$ -алгебра называется ассоциативной, если $(a,b,c)=0$ .

Если существует элемент $e\in A$ такой, что $ea=ae=a$ для всех $a\in A$ , то $e$ называется единицей алгебры $A$ , а сама алгебра называется алгеброй с единицей.

Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо условия $k(ab)=(ka)b=a(kb)$ требуют более слабое: $k(ab)=(ka)b$ .

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение $na$ (где $n$ — целое число) обычно, то есть как сумму $n$ копий $a$ . Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

Если вместо билинейного отображения $f$ выбрать полилинейное отображение $g:A^{n}\rightarrow A$ и определить произведение согласно правилу: $a_{1}\dots a_{n}=g(a_{1},\dots ,a_{n})$ , то полученная алгебраическая структура называется $n$ -алгеброй.

Свободная алгебра править

Если алгебра $A$ над коммутативным кольцом $K$ является свободным модулем, то она называется свободной алгеброй и имеет базис над кольцом $K$ . Если алгебра $A$ имеет конечный базис, то алгебра $A$ называется конечномерной.

Если $K$ является полем, то, по определению, $K$ -алгебра является векторным пространством над $K$ , а значит, имеет базис.

Базис конечномерной алгебры обычно обозначают $e_{1},\dots ,e_{n}$ . Если алгебра имеет единицу $e$ , то обычно единицу включают в состав базиса и полагают $e_{0}=e$ . Если алгебра имеет конечный базис, то произведение в алгебре легко восстановить на основании таблиц умножения:

e_{i}e_{j}=C_{ij}^{k}e_{k}

.

А именно, если $a=a^{k}e_{k}$ , $b=b^{k}e_{k}$ , то произведение можно представить в виде:

ab=C_{ij}^{k}a^{i}b^{j}e_{k}

.

Величины $C_{ij}^{k}\in K$ называются структурными константами алгебры $A$ .

Если алгебра коммутативна, то:

C_{ij}^{k}=C_{ji}^{k}

.

Если алгебра ассоциативна, то:

C_{ij}^{k}C_{ml}^{j}=C_{im}^{j}C_{jl}^{k}

.

Свойства править

Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем $K$ в качестве гомоморфного образа можно получить любую ассоциативно-коммутативную алгебру над $K$ .

Отображение алгебры править

Возможно рассматривать алгебру $A$ над коммутативным кольцом $K$ как модуль $A$ над коммутативным кольцом $K$ . Отображение $f:A\rightarrow B$ алгебры $A$ над коммутативным кольцом $K$ в алгебру $B$ над кольцом $K$ называется линейным, если:

f(a+b)=f(a)+f(b)

,

f(ka)=kf(a)

.

для любых $a$ , $b\in A$ , $k\in K$ . Множество линейных отображений алгебры $A$ в алгебру $B$ обозначается символом ${\mathcal {L}}(A;B)$ .

Линейное отображение $f:A\rightarrow B$ алгебры $A$ в алгебру $B$ называется гомоморфизмом, если $f(ab)=f(a)f(b)$ для любых $a,b\in A$ , а также выполнено условие: если алгебры $A$ и $B$ имеют единицу, то:

f(e_{A})=e_{B}

.

Множество гомоморфизмов алгебры $A$ в алгебру $B$ обозначается символом $H(A;B)$ .

Очевидно, что $H(A;B)\subseteq {\mathcal {L}}(A;B)$ .

Примеры править

Общие:

алгебры квадратных матриц
алгебры многочленов
алгебра формальных степенных рядов

Алгебры над полем вещественных чисел:

Литература править

Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.