Диагональное преобладание

Говорят, что квадратная матрица $A_{nn}$ обладает свойством диагонального преобладания, если для каждого $i=1,\dots ,n$

$|a_{ii}|\geqslant \sum _{j\neq i}|a_{ij}|,$

причём хотя бы одно из этих неравенств является строгим. Если все неравенства строгие, то говорят, что матрица $A_{nn}$ обладает строгим диагональным преобладанием.

Матрицы с диагональным преобладанием довольно часто возникают в приложениях. Их основное преимущество состоит в том, что итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений с такой матрицей (метод итерации, метод Зейделя, метод Якоби) сходятся к точному решению, которое существует и единственно при любых правых частях. Также для таких матриц заведомо существуют некоторые виды матричных разложений.

Свойства

• Матрица со строгим диагональным преобладанием является невырожденной.

См. также

• Метод прогонки
• Метод Якоби