Свёртка (математический анализ)

Свёртка — операция в функциональном анализе, которая при применении к двум функциям и возвращает третью функцию, соответствующую взаимнокорреляционной функции и . Операцию свёртки можно интерпретировать как «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на произвольных измеримых пространствах и может рассматриваться как особый вид интегрального преобразования. В дискретном случае свёртка соответствует сумме значений с коэффициентами, соответствующими смещённым значениям , то есть,

Свёртка двух прямоугольных импульсов: в результате даёт треугольный импульс.
Свёртка прямоугольного импульса (входного сигнала) с импульсным откликом RC цепи

ОпределениеПравить

Пусть   — две функции, интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве  . Тогда их свёрткой называется функция  , определённая формулой

   

В частности, при   формула принимает вид

   

Свёртка   определена при почти всех   и интегрируема.

В случае, когда  , а функции   определены на промежутке  свёртку можно записать в виде

   

Впервые интегралы, являющиеся свёрткой двух функций, встречаются в трудах Леонарда Эйлера (1760-е годы); позднее свёртка появляется у Лапласа, Лакруа, Фурье, Коши, Пуассона и других математиков. Обозначение свёртки функций при помощи звёздочки впервые предложил Вито Вольтерра в 1912 году на своих лекциях в Сорбонне (опубликованы годом позже)[1].

СвойстваПравить

Коммутативность:

 .

Ассоциативность:

 .

Линейность (дистрибутивность по сложению и ассоциативность с умножением на скаляр):

 ,
 ,
 .

Правило дифференцирования:

 ,

где   обозначает производную функции   по любой переменной.

Преобразование Лапласа:

 .

Свойство фурье-образа:

 ,

где   обозначает преобразование Фурье функции.

Если   является матрицей дискретного преобразования Фурье, то:

 ,

где   — символ торцевого произведения матриц[2][3][4][5][6],   обозначает произведение Кронекера,   — символ произведения Адамара (тождество является следствием свойств отсчётного скетча[7]).

ПримерПравить

 
График функции  — количество выпавшего снега в килограммах на начало часа.

Пусть стоит задача вычислить, как будет изменяться количество снега на каком-либо участке земли в зависимости от времени. Решение этой задачи можно разделить на два этапа:

  1. построить модель выпадения снега и модель таяния снега.
  2. каким-то образом соединить эти две модели в одну.
     
    График   зависимости количества нерастаявшего снега от времени прошедшего с момента его выпадения.

Задачи первого этапа решаются путём наблюдений и опытов, а задачи второго этапа — свёрткой получившихся на 1-м этапе моделей.

Пусть в результате решения задачи на 1-м этапе, было построено две зависимости (математические модели):

  • зависимость количества выпавшего снега от текущего времени  ,
  • зависимость доли нерастаявшего снега от времени, прошедшего с момента его выпадения  .

Если бы снег не начинал таять, количество всех выпавших осадков   можно было бы посчитать путём сложения в дискретном случае:

 ,

или путём интегрирования в случае непрерывном:

 .

Но в данном случае таяние снега имеет место и, более того, оно зависит не только от текущего общего количества снега, но и от того, в какой момент времени выпал этот конкретный объём снега. Так снег, выпавший 2 недели назад, может уже испариться, в то время как снег, выпавший полчаса назад, ещё будет лежать и даже не начнёт подтаивать.

Получается, что для снега, выпавшего в разное время, нужно построить свою модель таяния и как-то сложить все эти модели вместе.

Для этих целей и можно использовать понятие математической «свёртки». Пусть в момент времени   рассматривается снег, который выпал в момент времени  , тогда

  •   — время выпадения снега. Например, 13:00;
  •   — объём выпавшего в момент   снега. Например, 7 кг;
  •   — момент времени, для которого нам нужно узнать состояние выпавшего в   снега. Например, 15:00;
  •   — количество времени, прошедшее с момента выпадения до момента расчёта оставшейся доли снега. То есть 15:00 − 13:00;
  •   — доля снега, которая не растаяла после того, как пролежала   часа.

Нужно для каждого объёма   выпавшего в момент времени   снега, сложить множество моделей   в одну функцию. Если это сделать, получится сумма в дискретном случае:

 

или интеграл в непрерывном:

 

Графически функция   изображена ниже, где разными цветами представлены вклады каждой кучи снега из графика  .

 
График функции  , где разным цветом представлен вклад каждой кучи снега (цвета вкладов соответствуют цветам куч выпавшего снега на графике   выше)

Функция   полностью моделирует поведение снега, выпавшего согласно модели  . Так, на графике выше видно, что общее количество снега увеличивается тремя скачками, но снег начинает таять сразу, не дожидаясь выпадения других осадков.

Свёртка на группахПравить

Пусть   — группа, оснащённая мерой  , и   — две функции, определённые на  . Тогда их свёрткой называется функция[источник не указан 339 дней]

 

Свёртка мерПравить

Пусть есть борелевское пространство   и две меры  . Тогда их свёрткой называется мера[источник не указан 339 дней]

 

где   обозначает произведение мер   и  .

СвойстваПравить

 

Тогда   также абсолютно непрерывна относительно  , и её производная Радона — Никодима   имеет вид[источник не указан 339 дней]

 
  • Если   — вероятностные меры, то   также является вероятностной мерой.

Свёртка распределенийПравить

Если   — распределения двух независимых случайных величин   и  , то[источник не указан 339 дней]

 

где   — распределение суммы  . В частности, если   абсолютно непрерывны и имеют плотности  , то случайная величина   также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Domínguez A.  A History of the Convolution Operation // IEEE Pulse. — 2015. — Vol. 6, no. 1. — P. 38—49.
  2. Slyusar, V. I. (December 27, 1996). “End products in matrices in radar applications” (PDF). Radioelectronics and Communications Systems.– 1998, Vol. 41; Number 3: 50—53.
  3. Slyusar, V. I. (1997-05-20). “Analytical model of the digital antenna array on a basis of face-splitting matrix products” (PDF). Proc. ICATT-97, Kyiv: 108—109.
  4. Slyusar, V. I. (1997-09-15). “New operations of matrices product for applications of radars” (PDF). Proc. Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-97), Lviv.: 73—74.
  5. Slyusar, V. I. (March 13, 1998). “A Family of Face Products of Matrices and its Properties” (PDF). Cybernetics and Systems Analysis C/C of Kibernetika I Sistemnyi Analiz.- 1999. 35 (3): 379—384. DOI:10.1007/BF02733426.
  6. Slyusar, V. I. (2003). “Generalized face-products of matrices in models of digital antenna arrays with nonidentical channels” (PDF). Radioelectronics and Communications Systems. 46 (10): 9—17.
  7. (2013) "Fast and scalable polynomial kernels via explicit feature maps" in SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining., Association for Computing Machinery. DOI:10.1145/2487575.2487591. 

ЛитератураПравить

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004 (7-е изд.).
  • Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.
  • Напалков В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. — М., Наука, 1982. — Тираж 3500 экз. — 240 с.

СсылкиПравить