Сепарабельное расширение

Сепара́бельное расширение — алгебраическое расширение поля , состоящее из сепарабельных элементов, то есть таких элементов , минимальный аннулятор над для которых не имеет кратных корней. Производная должна быть в этой связи ненулевым многочленом. По определению все поля характеристики 0 сепарабельны, поэтому понятие сепарабельности нетривиально лишь для полей ненулевой характеристики .

Для конечных расширений имеет место следующее утверждение: если , где  — алгебраическое замыкание поля , то сепарабельно тогда и только тогда, когда число различных изоморфизмов поля в алгебраическое замыкание над равно степени . В случае несепарабельных расширений это число является делителем и называется сепарабельной степенью (частное равно некоторой степени характеристики).

Свойства сепарабельных расширенийПравить

Если расширения   и   сепарабельны, то и расширение   сепарабельно. Обратно, если   сепарабельно, то и   и   сепарабельны.

Если расширение   сепарабельно, то для любого расширения   (если   и   содержатся в каком-нибудь поле) композит полей[en]   является сепарабельным расширением  .

Теорема о примитивном элементе: если  , где   алгебраичен (хотя и не обязательно сепарабелен) над  , а   — алгебраичны и сепарабельны, то существует такой элемент   (называемый примитивным элементом), что  .

Обобщение сепарабельности на неалгебраические расширенияПравить

Расширение   называется линейно свободным от  , если любое конечное множество элементов   линейно независимое над   остаётся линейно независимым и над  . Данное определение симметрично: если   линейно свободно от   над  , то и наоборот,   линейно свободно от   над  .

Расширение (не обязательно алгебраическое)   над полем   называется сепарабельным, если оно для некоторого натурального   линейно свободно от расширения   — порождённого присоединением всех корней степени   из элементов  . Для алгебраических расширений это определение эквивалентно обычному. От выбора числа   данное определение не зависит и равносильно линейной свободе   от   — композита всех   (критерий Маклейна).

ЛитератураПравить