Открыть главное меню

Символы Кристоффеля

Символы Кристоффеля являются координатными выражениями аффинной связности, в частности, связности Леви-Чивиты. Названы в честь Элвина Бруно Кристоффеля (18291900). Используются в дифференциальной геометрии, общей теории относительности и близких к ней теориях гравитации. Появляются в координатном выражении тензора кривизны. При этом сами символы тензорами не являются.

Ниже используется правило суммирования Эйнштейна, то есть по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Элементарное понятие о символах КристоффеляПравить

 
Рис. 1. Параллельный перенос вдоль луча
 
Рис. 2. Параллельный перенос вдоль дуги

ВведениеПравить

Наглядное представление о символах Кристоффеля можно получить на примере полярной системы координат. В этой системе координатами точки являются расстояние   от неё до полюса и угол   направления от полярной оси.

Координатами вектора, как и в прямоугольной системе координат, следует считать дифференциалы (бесконечно малые приращения) этих величин:  .

Пусть есть вектор   с компонентами  , где   имеет геометрический смысл проекции вектора   на радиальный луч (проходящий через начало вектора), а   — угол, под которым вектор виден из полюса. В прямоугольной системе координат компоненты вектора не меняются при параллельном переносе. В полярной системе координат это не так (см. рис 1 и 2).

Символы Кристоффеля как раз и выражают изменение компонент вектора при его параллельном переносе.

Параллельный перенос вдоль координатных линийПравить

При смещении вектора вдоль радиального луча на расстояние  , его компонента  , очевидно, не меняется, но вторая его координата ( ) уменьшается (рис. 1). Величина вектора   остаётся неизменной, поэтому  . Отсюда получается (пренебрежением величинами второго и большего порядков малости):

 

При параллельном переносе вдоль дуги меняются обе координаты   и   (рис. 2). Очевидно,  ,  , и   поэтому:

 

Кроме этого, так как  ,  , и  , то

 

Параллельный перенос в произвольном направленииПравить

При произвольном малом смещении вектора (когда меняются и  , и  ) изменения компонент надо складывать:

 
 

Полученные выражения имеют общую структуру: изменение компонент вектора пропорционально всем компонентам вектора и пропорционально величине сдвига вектора. Коэффициенты пропорциональности (без общего минуса) и называются символами Кристоффеля.

В более общих обозначениях  ,  ,   и   можно записать (имея в виду сумму по повторяющимся индексам):

 

Здесь символы Кристоффеля  ,  , а все остальные равны нулю.

В прямоугольной системе координат все символы Кристоффеля равны нулю, так как компоненты вектора не изменяются при параллельном переносе. Из этого можно сделать вывод, что символы Кристоффеля не образуют тензор: если тензор равен нулю в какой-либо системе координат, то он равен нулю во всех остальных системах координат.

Символы Кристоффеля первого и второго родаПравить

Символы Кристоффеля второго рода   можно определить как коэффициенты разложения ковариантной производной координатных векторов   по базису:

 

Символы Кристоффеля первого рода  :

 

Выражение через метрический тензорПравить

Символы Кристоффеля связности Леви-Чивиты для карты   могут быть определены из отсутствия кручения, то есть,

 

и того условия, что ковариантная производная метрического тензора   равна нулю:

 

Для сокращения записи символ набла   и символы частных производных часто опускаются, вместо них перед индексом, по которому производится дифференцирование, ставится точка с запятой «;» в случае ковариантной и запятая «,» в случае частной производной. Таким образом, выражение выше можно также записать как

 

Явные выражения для символов Кристоффеля второго рода получаются, если сложить это уравнение и другие два уравнения, которые получаются циклической перестановкой индексов:

 

где   — контравариантное представление метрики, которое есть матрица, обратная к  , находится путём решения системы линейных уравнений  .

Связь с безындексными обозначениямиПравить

Формальные, безындексные определения связности абстрагируются от конкретной системы координат и поэтому более предпочтительны при доказательстве математических теорем.

Пусть X и Y — векторные поля с компонентами   и  . Тогда k-я компонента ковариантной производной поля Y по отношению к X задается выражением

 

Условие отсутствия кручения у связности:

 

эквивалентно симметричности символов Кристоффеля по двум нижним индексам:

 

Замена координатПравить

Несмотря на то, что символы Кристоффеля записываются в тех же обозначениях, что и компоненты тензоров, они не являются тензорами, потому что не преобразуются как тензоры при переходе в новую систему координат. В частности, выбором координат в окрестности любой точки символы Кристоффеля могут быть локально сделаны равными нулю (или обратно ненулевыми), что невозможно для тензора.

При замене переменных   на   базисные векторы преобразуются ковариантно:

 

откуда следует формула преобразования символов Кристоффеля:

 

Черта означает систему координат y. Таким образом, символы Кристоффеля не преобразуются как тензор. Они представляют собой более сложный геометрический объект в касательном пространстве с нелинейным законом преобразования от одной системы координат к другой.

Примечание. Можно заметить, например, из определения, что первый индекс является тензорным, то есть по нему символы Кристоффеля преобразуются как тензор.

Символы Кристоффеля в различных системах координатПравить

Пользуясь выражением символа через метрический тензор, либо преобразованием координат, можно получить значения их в любой системе координат. В механике и физике чаще всего используются ортогональные криволинейные системы координат. В этом случае символы Кристоффеля с равными коэффициентами выражаются через коэффициенты Ламе (диагональные элементы метрического тензора)  , а все остальные равны нулю.

Символы Кристоффеля первого рода выражаются так:

  при  
 

Символы Кристоффеля второго рода:

  при  
 

Значения для распространённых систем координат:

  • В декартовой системе координат  :  , поэтому ковариантная производная совпадает с частной производной.
  • В цилиндрической системе координат  :  ,  . Остальные равны нулю.
  • В сферической системе координат  :  ,  ,  ,  ,  . Остальные равны нулю.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

СсылкиПравить