Симметризация Штайнера

Симметризация Штайнера — построение определённого типа, сопоставляющее произвольной фигуре фигуру с зеркальной симметрией. Это построение применяется при решении изопериметрической задачи, предложенном Якобом Штайнером в 1838.

Симметризация Штайнера

На основе симметризации Штайнера были построены и другие симметризации, которые используются в схожих задачах.

ОпределениеПравить

Пусть   есть гиперплоскость и   — данная фигура в  .

Введём ортогональную систему координат, в которой   описывается уравнением  . Для каждой точки   пусть   обозначает длину пересечения перпендикуляра, проведённого к   через  , с множеством  . Далее проведём через   отрезок длины   с серединой в  , перпендикулярный к  . Объединение   таких отрезков есть симметризация Штайнера   относительно  .

СвойстваПравить

 
Случай равенства периметров в симметризации Штайнера
  • Объём   совпадает с объёмом  .
  • Площадь поверхности   не превосходит площади поверхности  .
    • Если   выпуклое тело, то равенство площадей поверхностей   и   достигается только в случае, если   зеркально симметрична относительно гиперплоскости, параллельной плоскости симметризации.
    • В общем случае равенство может достигаться не только для зеркально симметричных  , например, равенство достигается для плоских фигур, составленных из двух прямоугольников с основаниями, параллельными прямой симметризации.
  • Если   выпукла, то же верно и для  .
  • Симметризация Штайнера не увеличивает расстояние по Хаусдорфу между фигурами, то есть
     
где   и   — произвольные фигуры,   и   — их симметризации относительно одной и той же гиперплоскости, а   — метрика Хаусдорфа.
  • Если  , то  .

Вариации и обобщенияПравить

 
Круговая симметризация
  • Симметризация Пойа (круговая).
  • Осевая симметризация — аналогична симметризации Штайнера, но даёт фигуру, инвариантную относительно поворотов вокруг данной прямой.

ЛитератураПравить