Симметризация и антисимметризация тензора

Симметризация и антисимметризация тензора — это операции конструирования тензора того же типа с определённым видом симметрии. Для примера, симметризация тензора  — это симметричный тензор , а антисимметризация — антисимметричный тензор .

Операция симметризации:

.

Суммирование ведётся по всем перестановкам индексов, заключённых в круглые скобки. Аналогично определяется симметризация верхних индексов; симметризовать можно только по группе индексов одного типа. Операцию можно применять и к тензорному произведению нескольких тензоров (которое также является тензором). Примеры:

.

Операция антисимметризации или альтернирования определяется так:

.

Суммирование снова ведётся по всем перестановкам индексов, но теперь заключённых в квадратные скобки и с учётом чётности перестановки . Примеры:

;
.

Некоторые авторы предпочитают не писать множитель в формулах для симметризации и антисимметризации. На это следует обращать внимание, поскольку другие формулы видоизменяются соответственно, что может внести путаницу.

Свойства симметризации и антисимметризацииПравить

  • Если   симметричен по   то симметризация по этим индексам совпадает с   а антисимметризация даёт нулевой тензор. Аналогично в случае антисимметричности   по некоторым индексам: антисимметризация совпадёт с  , а симметризация даст нулевой тензор.
  • Если   то     Здесь   — симметричное, а   — внешнее произведение векторных пространств.