Открыть главное меню

Симметрическая группа

Граф Кэли симметрической группы S4
Таблица Кэли симметрической группы S3
(таблица умножения матриц перестановок)

Имеются следующие позиции шести матриц:
Symmetric group 3; Cayley table; positions.svg Как видно, таблица не симметрична относительно главной диагонали, то есть группа не абелева.

Симметрической группой множества называется группа всех перестановок (то есть биекций ) относительно операции композиции.

Симметрическая группа множества обычно обозначается . Если , то также обозначается через . Но если , то изоморфна , потому при конечном считают, что равно .

Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка , определяемая как тождественное отображение:

для всех .

Содержание

Связанные определенияПравить

СвойстваПравить

  • При   симметрическая группа   некоммутативна.
  • При   симметрическая группа   является неразрешимой (и напротив: при   — разрешимой).
  • В случае, если   конечно, число элементов   равно   (факториал n), где   — число элементов  . В частности,  
  • Каждая конечная группа   изоморфна некоторой подгруппе группы   (теорема Кэли).
  • Симметрическая группа   допускает следующее задание:
     
(Можно считать, что   переставляет   и  .)
  • Максимальный порядок элементов группы   — функция Ландау.
  • Центр симметрической группы тривиален при  .
  • Симметрическая группа является полной (то отображение сопряжения является изоморфизмом) тогда и только тогда, когда её порядок отличен от 2 и 6 (теорема Гёльдера). В случае   группа   имеет еще один внешний автоморфизм[en]. В силу этого и предыдущего свойства при   все автоморфизмы   являются внутренними, то есть каждый автоморфизм   имеет вид   для некоторого  .
  • Число классов сопряженных элементов симметрической группы   равно числу разбиений числа n.[2].
  • Множество транспозиций   является порождающим множеством  . С другой стороны, все эти транспозиции порождаются всего двумя перестановками  , так что минимальное число образующих симметрической группы равно двум.
  • Знакопеременная группа   является нормальной подгруппой  . Причем при     — единственная нетривиальная нормальная подгруппа  , а при     имеет еще одну нормальную подгруппу — четверную группу Клейна.

Представление симметрической группы в виде матричнойПравить

Любая подгруппа   группы перестановок   представима группой матриц из  , при этом каждой перестановке   соответствует матрица, у которой все элементы в ячейках   равны 1, а прочие элементы равны нулю. Например, перестановка   представляется следующей матрицей  :

 

Такие матрицы называются перестановочными.

Добавляя условие равенства 1 определителя, мы получим группу, изоморфную знакопеременной группе  .

Существуют и другие представления симметрических групп. Пример 1. Группа симметрии (состоящая из вращений и отражений) додекаэдра изоморфна  . Пример 2. Группа вращений куба изоморфна  . Так мы получаем 3-мерные представления групп   и  .

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Винберг Э.Б. Курс алгебры. — М.: "Факториал-Пресс", 2001.
  • Каргаполов М.И, Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — М.: Наука, Физматлит, 1982.
  • Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры.. — М.: Физматлит, 2004.
  • Курош А.Г. Теория групп. — М.: Наука, Физматлит, 1967.
  • Постников М.М. Теория Галуа. — М.: Физматлит, 1963.

ПримечанияПравить

  1. Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982. — 561 с.
  2. последовательность A000041 в OEIS