Симметричная матрица

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу , что .

Это означает, что она равна её транспонированной матрице:

ПримерыПравить

 

СвойстваПравить

Симметричная матрица всегда квадратная.

Для любой симметричной матрицы A с вещественными элементами справедливо следующее:

 
  • из её собственных векторов всегда можно составить ортонормированный базис
  • матрицу A можно привести к диагональному виду:  , где  ортогональная матрица, столбцы которой содержат ортонормированный базис из собственных векторов, а Dдиагональная матрица с собственными значениями матрицы A на диагонали.
  • Если у симметричной матрицы A единственное собственное значение  , то она имеет диагональный вид:  , где  единичная матрица, в любом базисе.
  • Для симметричной матрицы любая конгуэрентная матрица также является симметричной, т. е.

 

Положительно (отрицательно) определённые матрицыПравить

Симметричная матрица   размерностью   называется положительно определённой если   выполняется  
Условие отрицательно, неположительно и неотрицательно определённой матрицы формулируется аналогично с соответствующим изменением знака неравенства.
Для выяснения характера определённости матрицы может использоваться критерий Сильвестра.