Си́мплекс или n-мерный тетра́эдр (от лат. simplex ‘простой’) — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника.

ОпределениеПравить

Симплекс (точнее, n-симплекс, где число n называется размерностью симплекса) — это выпуклая оболочка n + 1 точки аффинного пространства (размерности n или больше), которые предполагаются аффинно независимыми (то есть не лежат в подпространстве размерности n − 1). Эти точки называются вершинами симплекса[1][2].

Симплекс может быть охарактеризован как множество всевозможных выпуклых комбинаций своих вершин  :

 

Связанные определенияПравить

 
Модель правильного 3-симплекса
  • Открытым симплексом называется множество всевозможных барицентрических комбинаций своих вершин с положительными коэффициентами (при этом симплекс с теми же вершинами, удовлетворяющий определению из предыдущего раздела, именуют также замкнутым симплексом; в соответствии с терминологией общей топологии, замкнутый симплекс есть замыкание соответствующего открытого симплекса, а этот открытый симплекс есть открытое ядро замкнутого симплекса)[1][3].
  • Остовом симплекса называется множество всех его вершин[4].
  • Рёбрами симплекса называются отрезки, соединяющие его вершины[5].
  • Гранями размерности s симплекса называются s-мерные симплексы, остовами которых служат подмножества остова исходного симплекса[6].
  • Симплекс называют ориентированным, если его остов представляет собой вполне упорядоченное множество; при этом считается, что порядки, отличающиеся друг от друга чётной перестановкой вершин, задают одну и ту же ориентацию (под ориентированным 0-симплексом понимается точка, которой приписан знак: «плюс» или «минус»)[6][7].
  • Симплекс, лежащий в евклидовом пространстве, называется правильным, если все его рёбра имеют одинаковую длину[8].

Стандартный симплексПравить

 
Зелёный треугольник — стандартный 2-симплекс

Стандартный n-симплекс — это подмножество арифметического пространства  , определяемое как[9]

 

Его вершинами являются точки[9]

e0 = (1, 0, …, 0),
e1 = (0, 1, …, 0),
en = (0, 0, …, 1).

Существует каноническое взаимно-однозначное отображение стандартного n-симплекса в любой другой n-симплекс Δ с координатами вершин  :

 

Значения   для данной точки симплекса Δ называются её барицентрическими координатами[3].

СвойстваПравить

  • n-мерный симплекс имеет   вершин, любые   из которых образуют k-мерную грань.
    • В частности, число k-мерных граней в n-симплексе равно биномиальному коэффициенту  
    • В частности, число граней старшей размерности совпадает с количеством вершин и равно  .
  • Ориентированный объём n-симплекса в n-мерном евклидовом пространстве можно определить по формуле
     
    • Определитель Кэли — Менгера позволяет вычислить объём симплекса, зная длины его рёбер:
       
где   — расстояние между i-й и j-й вершинами, n — размерность пространства. Эта формула является обобщением формулы Герона для треугольников.
  • Объём правильного n-симплекса с единичной стороной равен  .
  • Радиус   описанной n-мерной сферы удовлетворяет соотношению
     
где   — объём симплекса, и
 

ПостроениеПравить

 
Преобразование 1-симплекса в 2-симплекс
 
Преобразование 2-симплекса в 3-симплекс

Если размерность пространства равна n, то через любые n его точек можно провести гиперплоскость, и существуют множества из n + 1 точки, через которые гиперплоскость провести нельзя. Таким образом, n + 1 — минимальное число таких точек n-мерного пространства, которые не лежат в одной гиперплоскости; эти точки могут служить вершинами n-мерного многогранника[10].

Простейший n-мерный многогранник с количеством вершин n + 1 как раз и называется симплексом (принято также название «n-мерный тетраэдр»). В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют такие фигуры[11]:

Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами.

  1. В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства.
  2. Существует общее правило преобразования симплексов низшей размерности в симплексы высшей размерности. Оно заключается в том, что из некоторой точки симплекса проводят луч, не лежащий в аффинной оболочке данного симплекса, и на этом луче выбирают новую вершину, которую соединяют рёбрами со всеми вершинами исходного симплекса.
  3. Как следует из описанной в пункте 2 процедуры, любая вершина симплекса соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Описанная сфераПравить

Вокруг любого n-симплекса в евклидовом пространстве можно описать n-сферу.

Число граней симплексаПравить

Симплекс имеет n + 1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Поскольку все вершины симплекса соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L + 1 вершин симплекса определяют его L-мерную грань, и эта грань сама является L-симплексом. Тогда для симплекса число L-мерных граней равно числу способов выбрать L + 1 вершину из полного набора n + 1 вершин.

Обозначим символом К(L, n) число L-мерных граней в n-многограннике; тогда для n-симплекса

 

где   — число сочетаний из n по k.

В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно n + 1:

 

Соотношения в правильном симплексеПравить

Для правильного n-мерного симплекса обозначим:

  •   — длина стороны;
  •   — высота;
  •   — объём;
  •   — радиус описанной сферы;
  •   — радиус вписанной сферы;
  •  двугранный угол.

Тогда

  •  
  •  
  •  
  •  
  •   [8]
  •  
  •  
  •  
  •  

Формулы для правильного симплексаПравить

Число L-мерных граней  
Высота          
Объём          
Радиус описанной сферы          
Радиус вписанной сферы          
Двугранный угол  

Симплексы в топологииПравить

Топологическим симплексом называют подмножество топологического пространства, которое гомеоморфно симплексу некоторого аффинного пространства (или, что то же самое, стандартному симплексу соответствующей размерности). Понятие топологического симплекса лежит в основе теории симплициальных комплексов (симплициальный комплекс — это топологическое пространство, представленное как объединение топологических симплексов, образующих триангуляцию данного пространства)[12].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Александров и Пасынков, 1973, с. 197—198.
  2. Залгаллер В. А. . Симплекс // Математическая энциклопедия. Т. 4 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — 1216 стб. — Стб. 1151.
  3. 1 2 Александров, 1968, с. 355.
  4. Александров и Пасынков, 1973, с. 198.
  5. Болтянский, 1973, с. 211.
  6. 1 2 Баладзе Д. О. . Комплекс // Математическая энциклопедия. Т. 2 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — 1104 стб. — Стб. 995—1101.
  7. Рудин У. . Основы математического анализа. 2-е изд. — М.: Мир, 1976. — 319 с. — С. 257—258.
  8. 1 2 Parks H. R., Wills D. C. . An Elementary Calculation of the Dihedral Angle of the Regular n-Simplex // The American Mathematical Monthly, 2002, 109 (8). — P. 756—758. — doi:10.2307/3072403.
  9. 1 2 Кострикин и Манин, 1986, с. 200—201.
  10. Александров, 1968, с. 353—355.
  11. Кострикин и Манин, 1986, с. 201.
  12. Хохлов А. В. . Симплициальное пространство // Математическая энциклопедия. Т. 4 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — 1216 стб. — Стб. 1168.

ЛитератураПравить

СсылкиПравить