Система линейных алгебраических уравнений

Система линейных уравнений от трёх переменных определяет набор плоскостей. Точка пересечения является решением.

Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.

В классическом варианте коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются (либо естественным образом обобщаются) на случай любых полей, например, комплексных чисел.

Решение систем линейных алгебраических уравнений — одна из классических задач линейной алгебры, во многом определившая её объекты и методы. Кроме того, линейные алгебраические уравнения и методы их решения играют важную роль во многих прикладных направлениях, в том числе в линейном программировании, эконометрике.

Содержание

Соглашения и определенияПравить

Общий вид системы линейных алгебраических уравнений:

 

Здесь   — количество уравнений, а   — количество переменных,   — неизвестные, которые надо определить, коэффициенты   и свободные члены   предполагаются известными. Индексы коэффициентов в системах линейных уравнений ( ) формируются по следующему соглашению: первый индекс ( ) обозначает номер уравнения, второй ( ) — номер переменной, при которой стоит этот коэффициент[1].

Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю ( ), иначе — неоднородной.

Квадратная система линейных уравнений — система, у которой количество уравнений совпадает с числом неизвестных ( ). Система, у которой число неизвестных больше числа уравнений является недоопределённой, такие системы линейных алгебраических уравнений также называются прямоугольными. Если уравнений больше, чем неизвестных, то система является переопределённой.

Решение системы линейных алгебраических уравнений — совокупность   чисел  , таких что их соответствующая подстановка вместо   в систему обращает все её уравнения в тождества.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Решения считаются различными, если хотя бы одно из значений переменных не совпадает. Совместная система с единственным решением называется определённой, при наличии более одного решения — недоопределённой.

Матричная формаПравить

Система линейных алгебраических уравнений может быть представлена в матричной форме как:

 

или:

 .

Здесь   — это матрица системы,   — столбец неизвестных, а   — столбец свободных членов. Если к матрице   приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Теорема Кронекера — Капелли устанавливает необходимое и достаточное условие совместности системы линейных алгебраических уравнений посредством свойств матричных представлений: система совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы.

Эквивалентные системы линейных уравненийПравить

Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множество их решений совпадает, то есть любое решение одной системы одновременно является решением другой, и наоборот. Также считается, что системы, не имеющие решений, эквивалентны.

Систему, эквивалентную данной, можно получить, в частности, заменив одно из уравнений на это уравнение, умноженное на любое отличное от нуля число. Эквивалентную систему можно получить также, заменив одно из уравнений суммой этого уравнения с другим уравнением системы. В общем, замена уравнения системы на линейную комбинацию уравнений даёт систему, эквивалентную исходной.

Система линейных алгебраических уравнений   эквивалентна системе  , где   — невырожденная матрица. В частности, если сама матрица   — невырожденная, и для неё существует обратная матрица  , то решение системы уравнений можно формально записать в виде  .

Методы решенияПравить

Прямые методы дают алгоритм, по которому можно найти точное решение систем линейных алгебраических уравнений. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

Некоторые прямые методы:

Итерационные методы устанавливают процедуру уточнения определённого начального приближения к решению. При выполнении условий сходимости они позволяют достичь любой точности просто повторением итераций. Преимущество этих методов в том, что часто они позволяют достичь решения с заранее заданной точностью быстрее, а также позволяют решать большие системы уравнений. Суть этих методов состоит в том, чтобы найти неподвижную точку матричного уравнения

 ,

эквивалентного начальной системе линейных алгебраических уравнений. При итерации   в правой части уравнения заменяется, например, в методе Якоби (метод простой итерации) приближение, найденное на предыдущем шаге:

 .

Итерационные методы делятся на несколько типов, в зависимости от применяемого подхода:

  • Основанные на расщеплении:  
  • Вариационного типа:  
  • Проекционного типа:  

Среди итерационных методов:

ПримечанияПравить

  1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: Физматлит, 2004. — 280 с.
  2. Вержбицкий В. М. Основы численных методов. — М.: Высшая школа, 2009. — С. 80—84. — 840 с. — ISBN 9785060061239.

СсылкиПравить