Открыть главное меню

В классической механике ско́бки Пуассо́на[1] (также возможно ско́бка Пуассо́на[2] и скобки Ли) — это оператор, играющий центральную роль в определении эволюции во времени динамической системы. Эта операция названа в честь С.-Д. Пуассона.

Содержание

Скобки Пуассона векторных полейПравить

Пусть   и   — векторные поля на  ,   — оператор производной Ли по направлению векторного поля  . Коммутатор операторов   и   есть дифференциальный оператор первого порядка, поэтому существует такое векторное поле  , для которого[3][Notes 1]

 

Это векторное поле называется коммутатором, скобками Ли или скобками Пуассона двух векторных полей. Явное выражение для скобок Ли полей:

 

В голономном базисе оно принимает вид

 

СвойстваПравить

Все, кроме последних двух, доказываются простым подсчётом.

  • Линейность:   - это функция, не зависящая от   и  .
  • Антикоммутативность:  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  • Тождество Якоби:  
  • Операция коммутирования задаёт на множестве векторных полей структуру алгебры Ли.

Скобки Пуассона функцийПравить

Пусть   — симплектическое многообразие. Симплектическая структура   на   позволяет ввести на множестве функций на   операцию скобок Пуассона, обозначаемую   или   и задаваемую по правилу[1][Notes 2]

 

где   (также  ) — векторное поле, соответствующее функции Гамильтона  . Оно определяется через дифференциал функции   и изоморфизм между 1-формами и векторами, задаваемый (невырожденной) формой  . Именно, для любого векторного поля  

 

Алгебра Ли функций ГамильтонаПравить

В силу кососимметричности и билинейности  , скобка Пуассона также будет кососимметричной и билинейной:

 
 

Выражение

 

является линейной функцией вторых производных каждой из функций  . Однако,

 

Это выражение не содержит вторых производных  . Аналогично, оно не содержит вторых производных   и  , а потому

 

то есть скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Якоби. Таким образом, скобки Пуассона позволяют ввести на множестве функций на   структуру алгебры Ли. Из тождества Якоби следует, что для любой функции  

 ,

то есть

 

— операция построения гамильтонова векторного поля по функции задаёт гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей.

СвойстваПравить

  • Скобки Пуассона невырождены:
 
 
  • Функция   является первым интегралом для гамильтоновой системы с гамильтонианом   тогда и только тогда, когда  
  • Скобка Пуассона двух первых интегралов системы — снова первый интеграл (следствие тождества Якоби).
  • Рассмотрим эволюцию гамильтоновой системы с функцией Гамильтона  , заданной на многообразии  . Полная производная по времени от произвольной функции   запишется в виде
 
 [4]


ПримечанияПравить

  1. Некоторые авторы [Арнольд] используют определение с противоположным знаком, при этом также изменяется знак в определении скобок Пуассона функций (см. ниже). Этот подход продиктован, по-видимому, стремлением сохранить как естественные геометрические определения гамильтоновых полей и их свойств, так и традиционную форму записи скобок Пуассона в координатах. Однако, при этом разрушается естественная симметрия между коммутаторами производных Ли, векторов и функций. Дальнейшие проблемы возникают при переходе к общим понятиям дифференциальной геометрии (формы, векторнозначные формы, различные дифференцирования), где отсутствие указанной симметрии неоправданно усложняет формулы. Поэтому в данной статье будут использованы другие определения, с оговорками.
  2. В некоторых книгах [Арнольд] принято определение с противоположным знаком, а именно   При этом также определяется с противоположным знаком коммутатор векторных полей (см. выше), а выражение для скобки Пуассона в координатах принимает традиционный вид, однако появляется лишний минус в выражении   и формуле для коммутатора полей.
  3. В [Арнольд], [Гантмахер] выражение имеет противоположный знак (аналогично вышеуказанным замечаниям). Традиционно выражение записывают как в [Гантмахер].

ЛитератураПравить

  1. 1 2 Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике: Учебное пособие для вузов / Под ред. Е. С. Пятницкого. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-X.
  2. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  3. Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Natural operations in differential geometry, — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. — ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.
  4. Ландау Л. Д, Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том 1. / доктор физико-математических наук Л. П. Питаевский. — 5-е. — ФИЗМАТЛИТ, 2004. — С. 176-179. — ISBN 5-9221-0055-6.