Скользящая средняя (фильтр)

Скользя́щая сре́дняя, скользя́щее сре́днее — разновидность цифрового фильтра с конечной импульсной характеристикой (КИХ) либо фильтра с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) (в случае экспоненциальной скользящей средней), используется для обработки сигналов и изображений, в системах автоматического управления и для других прикладных целей.

Блок-схема простого КИХ-фильтра второго порядка, реализующего скользящее среднее

Динамические характеристики

Разностное уравнение, которое характеризует фильтр скользящего среднего, является уравнением КИХ-фильтра.

Пусть $x_{n}$ — входной сигнал фильтра, $y_{n}$ — выходной сигнал, $P$ — порядок фильтра, $b_{i}$ — весовые коэффициенты отсчётов. Тогда разностное уравнение будет иметь вид:

$y_{n}=\sum _{i=0}^{P}b_{i}x_{n-i}.$

Отличительной особенностью фильтра скользящего среднего является равенство единице суммы коэффициентов $b_{i}$:

$\sum _{i=0}^{P}b_{i}=1.$

Последнее выражение нормировки коэффициентов отличает скользящее среднее от других КИХ-фильтров. В частности, для простого скользящего среднего весовые коэффициенты отсчётов имеют следующий вид:

$b_{i}={\frac {1}{P+1}}$ для $i=0,1,\dots ,P$

Импульсная характеристика и z-преобразование

Для того, чтобы найти импульсную переходную функцию фильтра скользящего среднего дискретные отсчёты заменяются дельта-функцией $\delta (n)$:

$x_{n}=\delta (n).$

Тогда импульсная характеристика такого фильтра может быть записана как:

$h(n)=\sum _{i=0}^{P}b_{i}\delta (n-i).$

Z-преобразование импульсной характеристики даёт передаточную функцию:

$H(z)=\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}.$

См. также

• Среднее арифметическое взвешенное

Литература

• Стивен Смит. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing.