След матрицы

След матрицы — операция, отображающая пространство квадратных матриц в поле, над которым определена матрица (для действительных матриц — в поле действительных чисел, для комплексных матриц — в поле комплексных чисел). След матрицы — это сумма элементов главной диагонали матрицы, то есть если элементы матрицы , то её след . Матрицы с нулевым следом называют бесследовыми (от англ. traceless или tracefree)[1].

В математических текстах встречается два обозначения операции взятия следа: (от англ. trace — след), и (от нем. Spur — след).

В тензорном исчислении следом тензора второго ранга (один раз ковариантного и один раз контравариантного) называется сумма его диагональных элементов. Независимо от ковариантности и контравариантности, след тензора второго ранга вычисляется как двойное скалярное произведение тензора с метрическим тензором и является первым инвариантом: .

ОпределениеПравить

Под следом квадратной матрицы   размера   понимают:

 

где   — элементы главной диагонали:

 .

СвойстваПравить

  • Линейность  .
  •  .
    Следствие: след одинаков для всех подобных матриц:  .
  •  , где   означает операцию транспонирования.
  •  .
  • Если   тензорное произведение матриц A и B, то  .
  • След матрицы равен сумме её собственных значений.
  • Определитель квадратной матрицы   можно выразить через следы степеней этой матрицы, не превосходящие  . Например  .

Геометрическое свойствоПравить

  •  ,
где E — единичная матрица, ε — бесконечно малое число. То есть бесконечно малое линейное преобразование изменяет объём на величину, пропорциональную следу генератора этого преобразования в первом порядке по его малому параметру. Иными словами, скорость изменения объёма при таком преобразовании равна следу его генератора.
  • Следствия:
    •   для малых α
    • Для того, чтобы преобразования не меняли объём, достаточно того, чтобы их генераторы были бесследовыми.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Lisovskiĭ, Fedor Viktorovich. Novyĭ anglo-russkiĭ slovarʹ po ėlektronike : v dvukh tomakh, okolo 100000 terminov i 7000 sokrashcheniĭ. — Moskva: ABBYY Press, 2009. — 2 volumes с. — ISBN 9785391000051, 539100005X, 9785391000068, 5391000068, 9785391000075, 5391000076.

СсылкиПравить