Слоение коразмерности 1

Слоение коразмерности 1 — это разбиение многообразия на непересекающиеся подмножества которые локально выглядят как поверхности уровня гладких регулярных функций.

Определение

править

На  -мерном многообразии   задано слоение коразмерности 1, если   наделено разбиением на линейно связные подмножества   со следующим свойством: в окрестности любой точки из   найдется локальная система координат  , в которой связные компоненты множества   состоят из решений  .

Множества   называются слоями слоения,   — его тотальным пространством.

Слои наделяются топологией, базу которой составляют связные компоненты пересечения слоя с открытыми подмножествами тотального многообразразия  . По отношению к этой топологии слой является гладким многообразием, и его включение в тотальное многообразие вложением в слабом смысле.

Связанные определения

править

Определяющая 1-форма слоения

править

Определяющая 1-форма слоения в открытом множестве   — это гладкая 1-форма  , не равная нулю в  , ограничение которой на компоненту пересечения любого слоя с   тривиально.

Не всякая ненулевая 1-форма определяет слоение в  , требуется, чтобы был выполнен критерий интегрируемости Фробениуса:

Гладкая 1-форма  , не равная нулю в  , определяет слоение тогда и только тогда, когда в   выполняется одно из двух эквивалентных условий

  1. существует гладкая 1-форма   такая что  ,
  2.  .

В частности, всякая замкнутая 1-форма определяет слоение.

Если  , мы имеем глобальную определяющую форму. Слоение коразмерности 1 определяется глобальной 1-формой в том и только в том случае, если оно ориентируемо, и выбор этой 1-формы приводит к выбору определенной ориентации.

Глобальная определяющая форма   может быть замкнутой,  , только в том случае, когда многообразие является расслоением над окружностью[1].

Класс Годбийона — Вея

править

Для ориентируемых слоений коразмерности 1 определяется класс Годбийона — Вея[2]:

Ориентируемое слоение   задается глобальной формой  , удовлетворяющей условию интегрируемости; следовательно, существует гладкая 1-форма   такая что  . Классом Годбийона-Вея слоения   называется когомологический класс формы  .

На трехмерном многообразии можно определить число Годбийона-Вея, оно равно значению класса Годбийона — Вея на фундаментальном гомологическом классе.

Геометрический смысл класса Годбийона — Вея остается неясным — известные в настоящее время теоремы показывают, что слоение с нетривиальным классом Годбийона — Вея являются достаточно запутанными.

Примеры

править
  • Гладкое расслоение над одномерным многообразием
  • Нарезка тора   на окружности или иррациональная обмотка,
  • Слоение Риба на сфере  

Наряду со слоением Риба имеются явные конструкции слоений коразмерности 1 на ряде других многообразий, в частности, на всех нечетномерных сферах   [3].

Свойства

править
  • На связном открытом многообразии такое слоение всегда существует[4].
  • На замкнутом многообразии   для существования слоения коразмерности 1 необходимо и достаточно, чтобы эйлерова характеристика многообразия   была равна нулю,  [5].
    • В частности, это справедливо для всех нечетномерных замкнутых многообразий  . Для поверхности   эйлерова характеристика  , поэтому среди всех двумерных поверхностей только на торе   существует гладкое слоение.

Литература

править
  • И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.
  • Д. Б. Фукс. Слоения — Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151–213 [1]

Примечания

править
  1. Tischler D. On fibering certain foliated manifolds over   — Topology, v.9, 1970, p.153-154
  2. Godbillon C., Vey J. Un invariant des feuilletages de codimension un — C.r.Acad. sci., 1971, v.273, N2, p.92-95
  3. Lawson H.B. Foliations. — Bull. Amer. Math. Soc., 1974, v.80, N3, p.369-418
  4. Haefliger A. Feuilletages sur les varietes ouvertes. — Topology, 1970, 9, N2, 183—194
  5. Thurston W. Existence of codimension-one foliation. — Ann. Math., 1976, v.104, N2, p.249-268