Внешняя алгебра: различия между версиями

Внешняя алгебра <math>\bigwedge V</math> [[векторное пространство|векторного пространства]] <math>\ V</math> над [[поле (алгебра)|полем]] <math>\ K</math> — [[Ассоциативность (математика)|ассоциативная]] [[алгебра над полем|алгебра]] над ''K'', операция в которой обозначается знаком <math>\wedge,</math>, а порождающими элементами являются

* Операция <math>\wedgebigwedge</math> называется '''внешним произведением'''.

* Подпространство <math>\wedgebigwedge^r V</math> (для <math>r=0, 1, \dots, n</math>) в <math>\wedgebigwedge V,</math> порождённое элементами вида <math>e_{i_1}\wedge\dots\wedge e_{i_r},</math> называется <math>r</math>-ой '''внешней степенью''' пространства <math>V.</math>

* Алгебра <math>\wedgebigwedge V</math> имеет структуру [[градуированная алгебра|градуированной алгебры]]:

: <math>\wedgebigwedge V = K \oplus \bigoplus_{r=1}^{\infty} \wedgebigwedge^r V</math>

:: <math>\operatorname{dim}\wedgebigwedge^r V=C^r_n,</math> в частности

:: <math>\wedgebigwedge^r V=0</math> при <math>r>n,</math> а также

:: <math>\operatorname{dim}\wedgebigwedge V = 2^n.</math>

* Имеет место градуированная коммутативность (суперкоммутативность) внешнего умножения: <math>u\wedge v=(-1)^{rs}v\wedge u</math>, если <math>u\in\wedgebigwedge^rV, v\in\wedgebigwedge^sV.</math>

* Элементы пространства <math>\wedgebigwedge^r V</math> называются ''r''-векторами. В случае, когда [[Характеристика поля|характеристика]] основного поля равна 0, их можно понимать также как кососимметрические ''r'' раз контравариантные [[тензор]]ы над <math>V,</math> с операцией [[Симметризация и антисимметризация тензора|антисимметризированного (альтернированного)]] тензорного произведения, то есть внешнее произведение двух антисимметрических тензоров является композицией полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с [[тензорное произведение|тензорным произведением]].

* Квадрат произвольного вектора <math>\omega \in \wedgebigwedge^1 V</math> нулевой: