Целое алгебраическое число: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
LGB (обсуждение | вклад) |
LGB (обсуждение | вклад) дополнение |
||
Строка 1:
'''Целым алгебраическим числом''' называются [[комплексное число|комплексные]] (и в частности [[вещественное число|вещественные]]) [[корень|корни]] [[многочлен]]ов с [[целое число|целыми]] коэффициентами и со старшим коэффициентом единица.
По отношению к сложению и умножению комплексных чисел, целые алгебраические числа образуют [[Кольцо (алгебра)|кольцо]] <math>\Omega</math>.
Очевидно, <math>\Omega</math> является подкольцом поля [[Алгебраические числа|алгебраических чисел]] и содержит все обычные целые числа.
Пример: корни уравнения <math>x^n-1=0</math> над полем комплексных чисел ([[корни из единицы]]) — целые алгебраические числа.
==Свойства==▼
▲== Свойства ==
*Все рациональные числа, входящие в <math>\Omega</math>, являются на деле целыми числами. Другими словами, ни одна несократимая дробь <math>m/n</math> со знаменателем, большим единицы, целым алгебраическим числом быть не может.▼
▲* Все рациональные числа, входящие в <math>\Omega</math>, являются на деле целыми числами. Другими словами, ни одна несократимая дробь <math>m/n</math> со знаменателем, большим единицы, целым алгебраическим числом быть не может.
==История==▼
* Для каждого алгебраического числа ''a'' существует натуральное число ''n'' такое, что ''na'' — целое алгебраическое число.
Теорию целых алгебраических чисел создали в XIX веке [[Гаусс, Карл|Гаусс]], [[Якоби, Карл Густав Якоб|Якоби]], [[Дедекинд]], [[Куммер, Эрнст Эдуард|Куммер]] и другие. ▼
Интерес к ней был, в частности, вызван тем, что исторически эта структура оказалась первой в математике, где было обнаружено неоднозначное разложение на простые множители. ▼
▲== История ==
▲Теорию целых алгебраических чисел создали в XIX веке [[Гаусс, Карл|Гаусс]], [[Якоби, Карл Густав Якоб|Якоби]], [[Дедекинд]], [[Куммер, Эрнст Эдуард|Куммер]] и другие.
▲Интерес к ней был, в частности, вызван тем, что исторически эта структура оказалась первой в математике, где было обнаружено неоднозначное разложение на простые множители.
Классические примеры построил Куммер; скажем, в подкольце целых алгебраических чисел вида <math>a+b\sqrt{-5}</math> имеют место 2 разложения:
: <math>6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5}) \cdot (1-\sqrt{-5})</math>,
причём в обоих случаях все множители
== Литература ==
* ''К. Айерлэнд, М. Роузен.'' [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Классическое введение в современную теорию чисел.] Перевод с английского С.
* ''Боревич З. И., Шафаревич И. P.'' [http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/3f0f3c7885fa87707a1d9db57677ddf4.djvu Теория чисел.] М., 1964.
* ''Ван дер Варден Б. Л.'' [http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/b01c5ac1998137ac2817256edc019df9.djvu Алгебра.] М.: Мир, 1975, глава 17: Целые алгебраические элементы.
* ''Гекке Э.'' Лекции по теории алгебраических чисел, пер. с нем., М.
* ''Гельфонд А. О.'' Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
| |||