Википедия

Функция (математика): различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[отпатрулированная версия][непроверенная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
неверно
Метка: отмена
Нет описания правки
Строка 2:
{{redirect|Отображение}}
[[Файл:Graph of example function.svg|thumb|250px|График функции<br> <math>\begin{align}&\scriptstyle \\ &\textstyle f(x) = \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}</math>.]]
[[Теория множеств|автореории =множеств]] [[ЗоричДедекинд, ВладимирЮлиус АнтоновичВильгельм Рихард|{{nobr|В.Дедекинд]] А. Зорич}}([[1887]]|часть = Глава I. Некоторые общематематические понятия) и обозначения. § 3. Функция|заглавие = Математический анализ. Часть I|ссылка = |ответственный = |издание = четвертое[[Пеано, исправленноеДжузеппе|местоПеано]] =([[1911]]) М.|издательствосформулировали = МЦНМО|год = 2002|том = |страницы = 13, 22, 25, 31|страниц = 664|isbnсовременное =универсальное 5-94057-056-9}}</ref>определение<ref name="Kol">''[[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров А. Н.]], [[Абрамов, Александр Михайлович (математик)|Абрамов А. М.]], Дудницын Ю. П.'' Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. - М., Просвещение, 1994. - ISBN 5-09-006088-6. - C. 86-87</ref>.▼
'''Фу́нкция''' ('''отображе́ние''', '''опера́тор''', '''преобразова́ние''') — в [[Математика|математике]] соответствие между элементами двух [[Множество|множеств]], установленное по такому правилу, что каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент из другого множества.
 
Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна [[Величина (математика)|величина]] полностью определяет значение другой величины. Так, значение [[Переменная величина|переменной]] <math>x</math> однозначно определяет значение выражения <math>x^2</math>,
также значение [[месяц]]а однозначно определяет значение следующего за ним месяца.
Другой пример функции: каждому человеку можно однозначно поставить в соответствие его биологическую мать.
 
Аналогично, задуманный заранее [[алгоритм]] по значению входного данного выдаёт значение выходного данного.
 
Часто под термином «функция» понимается [[числовая функция]], то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представлять в виде [[График функции|графиков]].
 
== История ==
Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбницем]] (1692 год). В свою очередь, [[Бернулли, Иоганн|Иоганн Бернулли]] в письме к тому же Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному<ref name="zorich">{{книга
▲|автор = [[Зорич, Владимир Антонович|{{nobr|В. А. Зорич}}]]|часть = Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция|заглавие = Математический анализ. Часть I|ссылка = |ответственный = |издание = четвертое, исправленное|место = М.|издательство = МЦНМО|год = 2002|том = |страницы = 13, 22, 25, 31|страниц = 664|isbn = 5-94057-056-9}}</ref><ref name="Kol">''[[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров А. Н.]], [[Абрамов, Александр Михайлович (математик)|Абрамов А. М.]], Дудницын Ю. П.'' Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. - М., Просвещение, 1994. - ISBN 5-09-006088-6. - C. 86-87</ref>.
 
Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления<!-- : функция полностью описывается своим аналитическим выражением, при помощи которого при заданном значении аргумента можно получить вполне определённое значение функции-->. Впоследствии появилось определение функции, данное [[Эйлер, Леонард|Эйлером]] (1751 год), затем — у [[Лакруа, Сильвестр Франсуа|Лакруа]] (1806 год), — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано [[Лобачевский, Николай Иванович|Лобачевским]] (1834 год) и [[Лежён-Дирихле, Петер Густав|Дирихле]] (1837 год)<ref name="shylov">{{книга
|автор = [[Шилов, Георгий Евгеньевич|{{nobr|Г. Е. Шилов}}]]
|часть = Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График
|заглавие = Математический анализ (функции одного переменного)
|ссылка =
|ответственный=
|издание =
|место = М.
|издательство = Наука
|год = 1969
|том =
|страницы = 69
|страниц = 528
|isbn =
}}</ref>.
 
К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Сначала понятие функции было распространено на [[вектор-функция|векторные функции]], вскоре [[Фреге, Фридрих Людвиг Готлоб|Фреге]] ввёл логические функции ([[1879]]), а после появления [[Теория множеств|теории множеств]] [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекинд]] ([[1887]]) и [[Пеано, Джузеппе|Пеано]] ([[1911]]) сформулировали современное универсальное определение<ref name="Kol"></ref>.
 
== Определения ==
Строка 39 ⟶ 9 :
 
=== Понятие функции ===
Говорят, что на множестве <math>X</math> имеется '''функция''' ('''''отображение, операция, оператор''''') <math>f</math> со значениями из множества <math>Y</math>, если каждому элементу <math>x</math> из множества <math>X</math> по правилу <math>f</math> поставлен в соответствие некоторый элемент <math>y</math> из множества <math>Y</math><ref name="zorich">{{книга|автор=[[Зорич, Владимир Антонович|{{nobr|В. А. Зорич}}]]|часть=Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция|заглавие=Математический анализ. Часть I|ссылка=|ответственный=|издание=четвертое, исправленное|место=М.|издательство=МЦНМО|год=2002|том=|страницы=13, 22, 25, 31|страниц=664|isbn=5-94057-056-9}}</ref>.
 
Говорят также, что функция <math>f</math> ''отображает'' множество <math>X</math> в множество <math>Y</math>. Функцию обозначают также записью <math>y=f(x)</math>.
Строка 69 ⟶ 39 :
Для числовых функций, часто задаваемых формулами, понятие функции формулируется как соответствие между элементами множеств посредством правила. Правило не обозначается, чтобы избежать совпадения обозначений правила и функции:
 
Если каждому элементу <math>x</math> из множества <math>X</math> по какому-либо правилу ставится в соответствие некоторый элемент <math>y</math> из множества <math>Y</math>, то указанное соответствие называется '''функцией''' <math>y=f(x)</math>, заданной на множестве <math>X</math> со значениями из <math>Y</math><ref name="shylov">{{книга|автор=[[Шилов, Георгий Евгеньевич|{{nobr|Г. Е. Шилов}}]]|часть=Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График|заглавие=Математический анализ (функции одного переменного)|ссылка=|ответственный=|издание=|место=М.|издательство=Наука|год=1969|том=|страницы=69|страниц=528|isbn=}}</ref><ref name="ilyin">{{книга
|автор = [[Ильин, Владимир Александрович (математик)|{{nobr|В. А. Ильин}}]], [[Садовничий, Виктор Антонович|{{nobr|В. А. Садовничий}}]], [[Сендов, Благовест|{{nobr|Бл. Х. Сендов}}]].
|часть = Глава 3. Теория пределов
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Функция_(математика)