Основная теорема о вычетах: различия между версиями

'''ОсновнаяОсновна́я теорематеоре́ма о вычетахвы́четах''' — мощный инструмент для вычисления интеграла [[Мероморфная функция|мероморфной функции]] по замкнутому контуру. Её часто используют также для вычисления вещественных интегралов. Она является обобщением [[Интегральная теорема Коши|интегральной теоремы Коши]] и [[Интегральная формула Коши|интегральной формулы Коши]].

Формулировка: если функция <math>f</math> [[Аналитическая функция|аналитична]] в некоторой [[Замкнутое множество|замкнутой]] [[Связное множество|односвязной]] [[Область (математика)|области]] <math>\overline G\subset\mathbb C</math>, за вычетомисключением конечного числа особых точек <math>a_1,a_2,\dots,a_n</math>, из которых ни одна не принадлежит граничному контуру <math>\partial G</math>, то справедлива следующая формула:

: <math>~\int\limits_{\partial G}f(z)\,dz=2\pi i\sum_{k=1}^n\mathop{\mathrm{res}}_{z=a_k}f(z),</math>,

Обход контура <math>\partial G</math> производится против часовой стрелки. Для использования теоремы в вычислении вещественных интегралов нужно [[Аналитическое продолжение|аналитически продолжить]] интегрируемую вещественную функцию на [[Комплексная плоскость|комплексную плоскость]] и найти её вычеты, что обычно довольно просто сделать. После этого нужно замкнуть контур интегрирования, добавив к вещественному отрезку полуокружность, лежащую в верхней или нижней комплексной полуплоскости. После этого интеграл по этому контуру можно вычислить, используя основную теорему о вычетах. Зачастую интеграл по полуокружности можно устремить к 0, выбрав её правильным образом, после чего контурный интеграл станет равен вещественному.

возникает в теории вероятностей при расчёте характеристической функции [[Распределение Коши|распределения Коши]] и не поддаётся вычислению обычными методами. Вычислим его через интеграл по контуру <math>C</math>, указанному на рисунке (<math>a>1</math>). Интеграл равен

Аналогичным образом, для дуги, обхватывающейохватывающей точку <math>-i</math> вместо <math>i</math>, можно показать, что при <math>t<0</math>:

(При <math>t=0</math> интеграл вычислимвычисляется обычными методами анализа, ион равен <math>\pi</math>)