Bezik
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки |
Нет описания правки |
||
Строка 77:
Думаю, что может, например, в снижении размерности контрпримеров. Кстати, при построении контрпримеров часто используются пространства с двумя разными расстояниями. В нашей новой работе <ref>https://arxiv.org/pdf/1907.09942.pdf</ref> как раз вычисляются расстояния от таких пространств до симплексов. Кроме всего прочего, в цитированной работе мы предлагаем вычислять [[Клика (теория графов)|кликовое число покрытия]] и [[Хроматическое число|хроматическое число]] графа в терминах расстояния Громова-Хаусдорфа. Я также пытался вставить ссылки на эту нашу работу, но из [[Хроматическое число|хроматического числа]] ее выкинули, увы.
[[У:Alexeytuzhilin|Alexeytuzhilin]] ([[ОУ:Alexeytuzhilin|обс.]]) 08:43, 6 августа 2019 (UTC)
<b>О Рисслинге:</b> действительно, цитированную работу из Украинского геометрического сборника сложно заподозрить в содержании результатов относительно центрально симметричных тел в ''n''-мерном евклидовом пространстве. Тем не менее, в книге Болтянского и Солтана "Комбинаторная геометрия различных классов выпуклых множеств" (1978), на стр. 187, говорится, без всяких ссылок, про два результата, найденных Рисслингом. Первый касается центрально-симметричных ''n''-мерных выпуклых тел. И затем, вместо ссылки, приводятся соображения: "Чтобы убедиться в этом, ...". Причем, описание тоже достаточно мутное: про <math>K_i</math> написано, что это - конусы, построенные, как на стр. 182 (где приведен тривиальный пример двумерного случая). Но сама идея интересная: предлагается совместить центры правильного тетраэдра и исследуемого тела, затем построить некоторые конусы с вершиной в центре тетраэдра, и пересечь эти конусы с телом: должны получиться множества меньшего диаметра. Я предложил бы следующий алгоритм. Обозначим изучаемое тело через ''F''. (1) Берем пару точек, на которых достигается диаметр тела ''F'', и если эти точки не симметричны (относительно центра симметрии ''O'' тела ''F''), то достраиваем их до симметричных, получаем параллелограмм (возможно, вырожденный). В параллелограмме имеется диагональ, которая длиннее сторон. Таким образом, показано, что диаметр достигается на симметричных точках. (2) Помещаем правильный тетраэдр ''T'' так, чтобы его центр попал в центр ''O'' тела ''F'', а одна из вершин — в точку ''A'' такую, что для симметричной точки ''B'' диаметр ''F'' был бы равен <math>|AB|</math>. Теперь строим конусы <math>K_i</math> с вершиной в ''O'' над гранями тетраэдра ''T''. Осталось показать, что <math>M_i:=F\cap K_i</math> имеют меньшие диаметры чем ''F''. Если длина стороны ''n''-мерного тетраэдра ''T'' равна ''a'', то расстояние от его центра ''O'' до вершины равно <math>\frac{a}{\sqrt2}\sqrt{\frac{n}{n+1}}</math> (если я не ошибся). Теперь построим треугольные пирамиды <math>T_i</math>, срезав конусы <math>K_i</math> гиперплоскостями, проходящими через точки, которые лежат на лучах этих конусов и отстоят от ''O'' на расстоянии <math>|AB|/2</math>. Насколько я понимаю, диаметры этих <math>T_i</math> равны ''a'', причем <math>M_i\subset T_i</math>, поэтому диаметры <math>M_i</math> также не превосходят ''a''. Но <math>|AB|=2\frac{a}{\sqrt2}\sqrt{\frac{n}{n+1}}</math> и <math>\frac{2}{\sqrt2}\sqrt{\frac{n}{n+1}}>1</math> при <math>n>1</math>, поэтому для таких размерностей диаметр <math>|AB|</math> множества ''F'' больше верхней оценки ''a'' диаметров кусков <math>M_i</math>. Таким образом, мы видим, что результат Рисслинга достаточно тривиален и вытекает непосредственно из замечания в книжке Солтана и Болтянского (впрочем, меня напрягает то, что я пользовался только центральной симметричностью. А где же тело? Где выпуклость?). [[У:Alexeytuzhilin|Alexeytuzhilin]] ([[ОУ:Alexeytuzhilin|обс.]]) 11:58, 6 августа 2019 (UTC)
| |||