Простая группа: различия между версиями

[[Циклическая группа]] <math>G=\mathbb Z/5 \mathbb Z</math>проста. Действительно, если <math>H</math>— подгруппа <math>G</math>, то порядок <math>H</math>по [[Теорема Лагранжа (теория групп)|теореме Лагранжа]] должен делить порядок <math>G</math>, равный 5. Единственными делителями 5 являются 1 или 5, то есть <math>H</math>либо тривиальна, либо совпадает с <math>G</math>. Наоборот, группа <math>\mathbb Z/ 12 \mathbb Z</math>простой не является, так как множество, состоящее из классов чисел 0, 4 и 8 по модулю 12, образует группу порядка 3, которая нормальна как подгруппа абелевой группы. Группа <math>\mathbb Z</math>целых чисел с операцией сложения также не является простой, поскольку множество чётных чисел есть нетривиальная нормальная подгруппа в <math>\mathbb Z</math>. Аналогичными рассуждениями можно убедиться, что всевозможные простые абелевы группы — это в точности циклические группы [[Простое число|простого]] порядка.

Классификация простых неабелевых групп существенно сложнее. Простая неабелева группа наименьшего порядка — это [[знакопеременная группа]] <math>A_5</math>порядка 60, при этом любая простая группа порядка 60 изоморфна <math>A_5</math>. Более того, простыми являются все группы <math>A_n</math>при <math>n \geqslant 5</math>. Следующая по количеству элементов простая неабелева группа после <math>A_5</math>— специальная проективная группа <math>PSL(2,7)</math>порядка 168. Можно доказать, что любая простая группа порядка 168 изоморфна <math>PSL(2,7)</math>.

Простой является группа всех чётных подстановок, каждая из которых перемещает конечное подмножество элементов бесконечного множества <math>X</math>; в частности, если множество <math>X</math>счётно, это бесконечная знакопеременная группа <math>A_{\infty}</math>. Ещё одним семейством примером служат <math>PSL_n(\mathbb F)</math>, где поле <math>\mathbb F</math> бесконечно и <math>n \geqslant 2</math>.