Кривизна: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 8:
== Кривизна кривой ==
=== Кривизна кривой, заданной параметрически ===
Пусть <math>\gamma(t)</math> — регулярная кривая в <math>d</math>-мерном [[евклидово пространство|евклидовом пространстве]], параметризованная её [[длина|длиной]] <math>t</math>.
Тогда
Строка 25 ⟶ 26 :
(при этом под <math>\times</math> для кривой в трехмерном пространстве можно понимать [[векторное произведение]], для кривой в двумерном пространстве — [[псевдоскалярное произведение]], а для кривой в пространстве произвольной размерности — [[внешнее произведение]]).
=== Связанные понятия ===
Величина, обратная кривизне кривой (<math>r=1/\kappa</math>), называется '''радиусом кривизны'''; он совпадает с радиусом [[Соприкасающаяся окружность|соприкасающейся окружности]] в данной точке кривой. Центр этой окружности называется '''центром кривизны'''. Если кривизна кривой равна нулю, то соприкасающаяся окружность вырождается в прямую.▼
[[Файл:Osculating circle.svg|thumb|280 px|Соприкасающаяся окружность]]
=== Кривые на плоскости ===
Для кривой на декартовой плоскости, заданной уравнением <math>y = y(x)</math>, кривизна вычисляется по формуле:▼
Для кривых на плоскости имеет место дополнительная формула, используемая в тех случаях, когда кривая задана не параметрически, а как геометрическое место точке, удовлетворяющих одному уравнению.
Пусть <math>\gamma</math> — регулярная кривая на евклидовой плоскости с координатами <math>(x,y)</math>, заданная уравнением <math>F(x,y)=0</math> с дважды непрерывно дифференцируемой функцией <math>F</math>. Тогда её кривизна в точке <math>(x,y)</math> вычисляется по формуле<ref>{{Cite journal | doi = 10.1016/j.cagd.2005.06.005| title = Curvature formulas for implicit curves and surfaces| journal = Computer Aided Geometric Design| volume = 22| issue = 7| pages = 632–658| year = 2005| last1 = Goldman | first1 = R. |citeseerx=10.1.1.413.3008}}</ref>
:<math>\kappa (x,y) = \frac{-F_y^2F_{xx}+2F_xF_yF_{xy}-F_x^2F_{yy}}{\left(F_x^2+F_y^2\right)^\frac32}.</math>
▲
: <math>\kappa(x) = \frac{|y''|}{(\sqrt{1+y'^2})^3}.</math>
Для того, чтобы кривая <math>\gamma</math> совпадала с некоторым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы её кривизна (или вектор кривизны) во всех точках тождественно равнялась нулю.
▲Величина, обратная кривизне кривой (<math>r=1/\kappa</math>), называется '''радиусом кривизны'''; он совпадает с радиусом [[Соприкасающаяся окружность|соприкасающейся окружности]] в данной точке кривой. Центр этой окружности называется '''центром кривизны'''. Если кривизна кривой равна нулю, то соприкасающаяся окружность вырождается в прямую.
== Ориентированная кривизна плоской кривой ==
| |||