Арифметическая прогрессия: различия между версиями

м
откат правок 46.175.248.210 (обс.) к версии 46.165.63.103
м (откат правок 46.175.248.210 (обс.) к версии 46.165.63.103)
Метка: откат
: <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>
: где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>d</math> — её разность.
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100%
{| class="wтическая прогрессия, то для <math>n \geqslant 2</math> выполняются соотношения:
! Доказательство
|-
| Пользуясь соотношением <math>a_{n+1}=a_n+d</math> выписываем последовательно несколько членов прогрессии:
 
<math>a_2=a_1+d</math>
 
<math>a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d</math>
 
<math>a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d</math>
 
<math>a_5=a_4+d=a_1+3d+d=a_1+4d</math>
 
Заметив закономерность, делаем предположение, что <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>. С помощью [[Математическая индукция|математической индукции]] покажем, что предположение верно для всех <math>n \in \mathbb N</math>:
 
'''База''' индукции <math>(n=1)</math> :
 
<math>a_1=a_1+(1-1)d=a_1</math> — утверждение истинно.
 
'''Переход''' индукции:
 
Пусть наше утверждение верно при <math>n=k</math>, то есть <math>a_k=a_1+(k-1)d</math>. Докажем истинность утверждения при <math>n=k+1</math>:
 
<math>a_{k+1}=a_k+d=a_1+(k-1)d+d=a_1+kd</math>
 
Итак, утверждение верно и при <math>n=k+1</math>. Это значит, что <math>a_n=a_1+(n-1)d</math> для всех <math>n \in \mathbb N</math>.
|}
 
=== Характеристическое свойство арифметической прогрессии ===
Последовательность <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> есть арифметическая прогрессия <math>\Leftrightarrow</math> для любого её элемента выполняется условие <math>a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2</math>.
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100%
! Доказательство
|-
| '''Необходимость''':
 
{|Поскольку class="wтическая<math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> — арифметическая прогрессия, то для <math>n \geqslant 2</math> выполняются соотношения:
 
<math>a_n=a_{n-1}+d</math>
=== Сумма первых <math>n</math> членов арифметической прогрессии ===
Сумма первых <math>n</math> членов арифметической прогрессии <math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+ \ldots + a_n</math> может быть найдена по формулам
: <math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n</math> , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>a_n</math> — член с номером <math>n</math>, <math>n</math> — количество суммируемых членов.
: <math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot (\frac{a_n-a_1}{a_2-a_1}+1)</math> — где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>a_2</math> — второй член прогрессии <math>, a_n</math> — член с номером <math>n</math>.
: <math>S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}2 \cdot n</math> , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>d</math> — разность прогрессии, <math>n</math> — количество суммируемых членов.
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100%
! Доказательство
| Запишем сумму двумя способами:
 
<math>S_n=a_1+a_2+a__a_3+ \ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n</math>
 
<math>S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ \ldots +a_3+a_2+a_1</math> — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке.
 
Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали:
Теперь сложим оба равен
 
<math>2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ \ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)</math>
 
Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде <math>a_i+a_{n-i+1}, i=1,2,\ldots,n</math>. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:
Покажем, что все слагаемы
 
<math>a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d, i=1,2,\ldots,n</math>
 
Получили, что каждое слагаемое не зависит от <math>i</math> и равно <math>2a_1+(n-1)d</math>. В частности, <math>a_1+a_n=2a_1+(n-1)d</math>. Поскольку таких слагаемых <math>n</math>, то
 
<math>2S_n=(a_1+a_n)\cdot n \Rightarrow S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n</math>
 
Третья формула для суммы получается подстановкой <math>2a_1+(n-1)d</math> вместо <math>a_1+a_n</math>. Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена.
 
'''Замечание''':
 
Вместо <math>a_1+a_n</math> в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых <math>a_i+a_{n-i+1}, i=2,3,\ldots,n</math>, так как они все равны между собой.
 
|}
 
=== Сходимость арифметической прогрессии ===
Арифметическая прогрессия <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> расходится при <math>d\ne 0</math> и [[Предел последовательности|сходится]] при <math>d=0</math>. Причём
 
: <math>\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=\left\{ \begin{matrix} +\infty,\ d>0 \\ -\infty,\ d<0 \\ a_1,\ d=0 \end{matrix} \right.</math>
 
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100%
! Доказательство
|-
| Записав выражение для общего члена и исследуя предел <math>\lim_{n\rightarrow\infty} (a_1+(n-1)d)</math>, получаем искомый результат.
|}
 
=== Связь между арифметической и геометрической прогрессиями ===