Квазиклассическое приближение: различия между версиями

: <math>B_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }</math>

 

 

<div id="mass_in_exponent">

</div>

 

 

: <math>A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) }</math>

 

 

: <math>\Psi(x) \approx \frac{ C_{+} e^{+\int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}} + C_{-} e^{-\int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}}{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}</math>

Это очевидно, что из-за знаменателя оба из этих приближённых решений расходятся около классической точки поворота, где <math> E = V (x) </math> и не может быть правильной. Мы имеем приблизительные решения далеко от потенциального барьера и ниже потенциального холма. Далеко от потенциального барьера частицы ведут себя подобно свободной волне — фаза осциллирует. Ниже потенциального барьера частица подвергается экспоненциальным изменениям в амплитуде.

 

 

Обозначим классическую точку поворота <math>x_1</math>. Вблизи <math>E=V(x_1)</math>, можно разложить <math>\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right)</math> в ряд.

: <math>\frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) = U_1 (x - x_1) \Psi(x)</math>

 

 

: <math>\Psi(x) = \sqrt{x - x_1} \left( C_{+\frac{1}{3}} J_{+\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}\sqrt{U_1}(x - x_1)^{\frac{1}{3}}\right) + C_{-\frac{1}{3}} J_{-\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}\sqrt{U_1}(x - x_1)^{\frac{1}{3}}\right) \right)</math>