Ковариантность и контравариантность (математика): различия между версиями

== Обобщение на криволинейные базисы и искривлённые пространства ==
 
Координаты евклидового (псеводоевклидового) пространства могут быть и криволинейными. Классический пример криволинейных координат — полярные координаты на евклидовой плоскости. В таком случае координатные базисы <math>dx^i</math> можно считать линейными лишь в бесконечно малых окрестностях данной точки. Поэтому справедливым остаётся выражение для квадрата расстояния для достаточно близких точек: <math>(dx)^2= g_{ij}dx^idx^j</math>. В случае криволинейных координат метрический тензор меняется от точки к точке. Таким образом, он представляет собой [[тензорное поле]] — каждой точке пространства оказывается сопоставлен некоторый метрический тензор.
 
Более общая ситуация имеет место в случае искривлённых пространств — римановых (псевдоримановых) многообразий. Искривлённое пространство можно наглядно представить для случая двумерной поверхности — некоторая гладкая кривая поверхность в трёхмерном пространстве (например, сферическая поверхность). Внутренняя геометрия такой поверхности (искривлённой) — это геометрия искривлённого пространства. В общем случае искривлённого пространства размерности <math>n</math> его можно представить себе как произвольную (искривлённую) гиперповерхность в пространстве большей размерности. Для гладких [[многообразие|многообразий]] со счетной [[база топологии|базой]] доказана [[теорема Уитни]] о вложении, согласно которой любое такое многообразие размерности <math>n</math> является вложенным в «плоское» (то есть неискривлённое евклидово или псевдоевклидово) пространство размерности <math>2n</math>.
Анонимный участник