Линейное отображение: различия между версиями

[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
(Исправлена неточность в определении линейного оператора)
Оператор <math>A^{-1}</math>, обратный линейному оператору <math>A</math>, также является ''линейным'' оператором. Если <math>A</math> — линейный непрерывный оператор, отображающий одно [[банахово пространство]] (или [[F-пространство]]) в другое, то и обратный оператор тоже является линейным непрерывным оператором.
 
== Матрица линейного оператораотображения ==
<!-- Пусть линейный оператор <math>A</math> действует в сепарабельном гильбертовом пространстве. Каждый элемент пространства может быть представлен в координатах в некотором ортонормированном базисе {<math>e_n</math>} как <math>x=\sum_{k} \alpha_k e_k</math>, причем из ортнонормированности базиса следует, что <math>\alpha_k=(x,e_k)</math>. Тогда вектор <math>y=Ax</math> можно разложить в том же базисе с коэффициентами <math>\beta_k=(Ax,e_k)=\sum_{i} (Ae_i,e_k)\alpha_i=\sum_{i} a_{ij} \alpha_i</math>, где <math>a_{ij}=(Ae_i,e_k)</math>. Таким образом, в координатном представлении <math>\beta=A \alpha</math>, где <math>\alpha</math> - координатное представление вектора <math>x</math>, а <math>\beta</math>-координатное представление вектора <math>y</math>, соответственно <math>A=</math> {<math>a_{ij}</math>}-матрица оператора в данном базисе.
 
Таким образом, каждому линейному оператору гильбертова пространства соответствует некоторая матрица в данном базисе.
-->
'''Матрица линейного оператораотображения''' — матрица, выражающая [[линейныйлинейное оператор]]отображение в некотором [[базис]]е. Для того, чтобы её получить, необходимо подействовать операторомотображением на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.
 
Матрица оператораотображения аналогична координатам вектора. При этом действие оператораотображения на [[Вектор (математика)|вектор]] равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.
 
Выберем базис <math>\mathbf{e}_k</math>. Пусть <math>\mathbf{x}</math> — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:
Здесь и далее предполагается [[Соглашение Эйнштейна|суммирование по немым индексам]].
 
Пусть <math>\mathbf{A}</math> — произвольныйпроизвольное линейныйлинейное операторотображение. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим
: <math>\mathbf{Ax} = x^k\mathbf{Ae}_k</math>.
 
 
== Важные частные случаи ==
* '''[[Линейная форма]]''' — линейныйлинейное операторотображение, для которого <math> M = K</math>:<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>f\colon L_K\to K</math>
* '''[[Эндоморфизм|Линейный эндоморфизм]]''' — линейныйлинейное операторотображение, для которого <math>L = M</math>(оператор):<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>f\colon L_K\to L_K</math>
* '''[[Тождественный оператор]]''' (единичный оператор)— оператор <math>x \mapsto x</math>, отображающий каждый элемент пространства в себя; норма такого оператора равна единице (для нормированных пространств)
* '''[[Нулевой оператор|Нулевое отображение]]''' — оператор, переводящий каждый элемент <math>L_K</math> в нулевой элемент <math>M_K</math>.
* '''[[Проектор (математика)|Проектор]]''' — оператор сопоставляющий каждому <math>x</math> его проекцию на подпространство.
* '''[[Сопряжённый оператор|Сопряжённое отображение]]''' к операторуотображению <math>A \in L(V)</math> — операторотображение <math>A^*</math> на <math>V^*</math>, заданныйзаданное соотношением <math>A^*f(x) := f(Ax)</math>.
* '''[[Самосопряжённый оператор]]''' — оператор на [[Гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]], совпадающий со своим сопряжённым оператором. Иногда такие операторы называют '''гипермаксимальными эрмитовыми'''.
* '''[[Эрмитов оператор|Эрмитов или симметрический оператор]]''' — такой оператор <math>A</math>, определённый на подпространстве гильбертова пространства, что <math>(Ax,y)=(x,Ay)</math> для всех пар <math>x,y</math> из области определения <math>A</math>. Для всюду определённых операторов данное свойство совпадает с самосопряжённостью.
* '''[[Унитарный оператор]]''' — оператор, область определения и область значений которого — всё пространство, сохраняющий скалярное произведение <math>(Ax,Ay)=(x,y)</math>; в частности, унитарный оператор сохраняет норму любого вектора <math>\|Ax\|=\sqrt{(Ax,Ax)}=\sqrt{(x,x)}=\|x\|</math>. Оператор, обратный унитарному, совпадает с сопряжённым оператором <math>A^{-1}=A^*</math>; норма унитарного оператора равна 1; в случае вещественного поля ''К'' унитарный оператор называют ''ортогональным''.
* '''[[Положительно определённый оператор]]'''. Пусть <math>L_K,\ M_K</math> — [[гильбертово пространство|гильбертовы пространства]]. Тогда линейный оператор называется положительно определённым, если <math>\forall x\in X \;(Ax, x)>0.</math>
 
== Связанные понятия ==
 
* Образом подмножества<ref>M не обязано быть подпространством.</ref> <math>M\subset L_K</math> относительно линейного отображения A называется множество <math>AM=\{Ax: x\in M\}</math>.
* [[Ядро (алгебра)|''Ядром'']] линейного отображения <math>f\colon A\to B</math> называется подмножество <math>A</math>, которое отображается в нуль:
*: <math>\mbox{Ker}\,f = \{ x\in A\mid f(x) = 0 \}</math>
 
* ''Образом'' линейного отображения <math>f</math> называется следующее подмножество <math>B</math>:
*:
*: <math>\mbox{Im}\,f = \{ f(x)\in B\mid x \in A \}</math>
*: Образ линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве <math>B</math>.
* Образом подмножества<ref>M не обязано быть подпространством.</ref> <math>M\subset L_K</math> относительно линейного отображенияпреобразования A называется множество <math>AM=\{Ax: x\in M\}</math>.
 
* Отображение <math>f\colon A\times B \to C</math> [[прямое произведение|прямого произведения]] линейных пространств <math>A</math> и <math>B</math> в линейное пространство <math>C</math> называется ''[[билинейное отображение|билинейным]]'', если оно линейно по обоим своим аргументам. Отображение прямого произведения большего числа линейных пространств <math>f\colon A_1\times\dots\times A_n \to B</math> называется ''[[полилинейное отображение|полилинейным]]'', если оно линейно по всем своим аргументам.
Анонимный участник