Треугольник Серпинского: различия между версиями

м
викификация
м (→‎Свойства: промежуток)
м (викификация)
=== Итеративный метод ===
[[Файл:Sierpinsky triangle (evolution).png|thumb|300 px|Построение треугольника Серпинского]]
Середины сторон [[Равносторонний треугольник|равностороннего треугольника]] <math>T_0</math> соединяются [[Отрезок|отрезками]]. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность [[срединный треугольник|срединного треугольника]]. Получается множество <math>T_1</math>, состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество <math>T_2</math>, состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность <math>T_0\supset T_1\supset\dots\supset T_n\supset\dots</math>, пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.
 
=== Метод хаоса ===
 
:1. Задаются координаты [[аттрактор]]ов — вершин исходного треугольника <math>T_0</math>.
:2. [[Вероятностное пространство]] <math>(0; 1)</math> разбивается на 3 равных части, каждая из которых соответствует одному аттрактору.
:3. Задаётся некоторая начальная точка <math>P_0</math>, лежащая внутри треугольника <math>T_0</math>.
:4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству треугольника Серпинского.
* Треугольник Серпинского [[замкнутое множество|замкнут]].
* Треугольник Серпинского имеет [[топологическая размерность|топологическую размерность]] 1.
* Важным свойством треугольника Серпинского является его [[самоподобие]] — ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам).
* Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть нецелую) [[Хаусдорфова размерность|Хаусдорфову размерность]] <math>=\ln3/\ln2\approx 1{,}585</math>. В частности,
** треугольник Серпинского имеет нулевую [[мера Лебега|меру Лебега]].