Неприводимый многочлен: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
→Свойства: пунктуация |
→Свойства: пунктуация, стилевые правки |
||
Строка 20:
* Неприводимый многочлен над полем характеристики 0 не может иметь кратных корней ни в этом поле, ни в любом его расширении.
* Если <math>k = F_q</math> — [[конечное поле]] из <math>q</math> элементов, а <math>n</math> — натуральное число, то существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n из <math>k[x]</math>.
* Предположим, что <math>A</math> ― [[целозамкнутое кольцо]] с полем частных <math>k</math> (например <math>A=\Z</math> и <math>k=\mathbb Q</math>) и <math>p\in A[x]</math> ― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда <math>p=qr</math> в <math>k[x]</math>, причём <math>q</math> и <math>r</math> имеют старший коэффициент 1, то <math>q,r\in A[x]</math>.
* ''Редукционный критерий неприводимости.'' Пусть задан [[гомоморфизм]] [[область целостности|областей целостности]] <math>\sigma:A\to B</math>. Если степень многочлена <math>\sigma(p)</math> совпадает со степенью многочлена <math>p</math> и <math>\sigma(p)</math> неприводим над полем частных области <math>B</math>, то не существует разложения <math>p=qr</math>, где <math>p, r\in A[x]</math> и отличны от константы.
** Например, многочлен <math>p</math> со старшим коэффициентом <math>1</math> прост в <math>\Z[x]</math> (и, следовательно, неприводим в <math>\mathbb Q[x]</math>), если прост многочлен <math>\sigma(p)</math>, полученный из <math>p</math> редукцией коэффициентов по модулю простого числа.
| |||