Конечное поле: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
IvanP (обсуждение | вклад) м многоточие |
→Построение: пунктуация |
||
Строка 43:
Поле <math>\mathbb F_{p^n}</math> при ''n'' > 1 можно построить как [[факторкольцо]] <math>\mathbb{K}=\mathbb F_p[x]/(f(x))</math>, где <math>f(x)</math> — [[неприводимый многочлен]] степени ''n'' над полем <math>\mathbb F_p</math>. Таким образом, для построения поля из <math>p^n</math> элементов достаточно отыскать многочлен степени <math>n</math>, неприводимый над полем <math>\mathbb F_p</math> (такой многочлен всегда существует). Элементами поля <math>\mathbb{K}</math> являются классы вычетов многочленов степени меньшей <math>n</math> с коэффициентами из <math>\mathbb F_p</math> по модулю [[Главный идеал|главного идеала]], порождённого многочленом <math>f(x)</math>.
Элемент <math>\alpha=x+(f(x))\in \mathbb{F}_p[x]/(f(x))</math> является корнем многочлена <math>f(x)</math>, и поле <math>\mathbb{F}_p[x]/(f(x))</math> [[расширение поля#Базовые определения|порождается]] этим элементом над полем <math>\mathbb{F}_p</math>, поэтому переход от поля <math>\mathbb{F}_p</math> к полю <math>\mathbb{F}_p[x]/(f(x))</math> называется ''присоединением'' к полю <math>\mathbb{F}_p</math> ''корня неприводимого многочлена'' <math>f(x)</math>.{{sfn|Винберг|2011|с=409}}{{sfn|Лидл, Нидеррайтер|1998|с=51, 66}}
== Примеры ==
| |||