Математическая структура: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Bezik (обсуждение | вклад) м миниредакции и оформления, склонения |
|||
Строка 2:
'''Математи́ческая структу́ра''' — название, объединяющее понятия, общей чертой которых является их применимость к [[множество|множествам]], природа которых не определена. Для определения самой структуры задают [[Отношение (теория множеств)|отношения]], в которых находятся элементы этих множеств. Затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют неким условиям, которые являются аксиомами рассматриваемой структуры<ref>{{книга |часть=Структура |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=5 |год=1985 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t5.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}</ref>.
Понятие структуры первоначально было неформальным. В работах Бурбаки построена формальная теория структур, которую предполагалось положить в основания математики, однако в такой роли эта теория не закрепилась.
Строка 11:
{{Якорь|Алгебраическая структура}}Важнейшим типом структур являются '''''алгебраические структуры'''''. Например, отношение, называемое «законом композиции», то есть отношение между тремя элементами, которое определяет однозначно третий элемент как функцию двух первых. Когда отношения в определении структуры являются «законами композиции», соответствующая математическая структура называется алгебраической структурой. Например, структуры [[Лупа (алгебра)|лупы]], [[Группа (математика)|группы]], [[Поле (алгебра)|поля]] определяется двумя законами композиции с надлежащим образом выбранными аксиомами. Так сложение и умножение на множестве [[Вещественное число|вещественных чисел]] определяют поле на множестве этих чисел.
{{Якорь|Структура порядка}}Второй важный тип представляют структуры, определённые [[Отношение порядка|отношением порядка]], то есть '''''структуры порядка'''''. Это отношение между двумя элементами <math>x,\;y</math>, которое чаще всего мы выражаем словами «<math>x</math> меньше или равно <math>y</math>» и которое в общем случае обозначается как <math>xRy</math>. В этом случае не предполагается, что это отношение однозначно определяет один из элементов <math>x,\;y</math> как функцию другого.
{{Якорь|Топологическая структура}}Третьим типом структур являются '''''топологические структуры''''', в них через абстрактную математическую формулировку средствами [[Общая топология|общей топологии]] реализуются интуитивные понятия [[Окрестность|окрестности]], [[Предел функции|предела]] и [[Непрерывное отображение|непрерывности]].
Строка 24:
В каждом из этих типов структур присутствует достаточное разнообразие. При этом следует различать наиболее общую структуру рассматриваемого типа с наименьшим числом аксиом и структуры, которые получаются из неё в результате её обогащения дополнительными аксиомами, каждая из которых влечёт за собой и новые следствия.
На второй уровень поставлены сложные математические структуры ({{lang-fr|multiples}}) — структуры, в которые входят одновременно одна или несколько порождающих структур, но не просто совмещённые друг с другом, а органически скомбинированные при помощи связывающих их аксиом. Например, [[топологическая алгебра]] изучает структуры, определяемые законами композиций и топологической структурой, которые связаны тем условием, что алгебраические операции являются непрерывными (в рассматриваемой топологии) функциями элементов. Другим примером является [[алгебраическая топология]], которая рассматривает некоторые множества точек пространства, определённые топологическими свойствами, как элементы, над которыми производятся алгебраические операции.
На третьем уровне — частные математические структуры, в которых элементы рассматриваемых множеств, бывшие в общих структурах совершенно неопределёнными, получают более определённую индивидуальность. Именно таким образом получают такие теории классической математики, как [[математический анализ]] функций вещественной и комплексной переменной, [[дифференциальная геометрия]], [[алгебраическая геометрия]].
Строка 37:
* ''Бурбаки Н.'' [http://pyrkov-professor.ru/Portals/0/Mediateka/Obzor/burbaki_n_ocherki_po_istorii_matematiki.pdf «Архитектура математики» в книге Н. Бурбаки «Очерки по истории математики» М.: ИИЛ, 1963. стр. 245—259.] или в сб. «Математическое просвещение» Вып. 5, 1960. стр. 99—112.;
* Первоисточник: N. Bourbaki «L’Architecture des mathematiques». Les grands courants de la pensee mathematiques (Cahiers du Sud), 1948. — p. 35—47.
* ''Nicholas Bourbaki''. The Architecture of Mathematics. The American Mathematical Monthly. Vol. 57. No. 4. (1950). p. 221—232.
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Burbaki1965ru.djvu ''Бурбаки Н.'' Теория множеств. М.: Мир, 1965. 456с.]
* {{публикация|книга|автор=Leo Corry|заглавие=Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures|издание=2nd ed.|издательство=Birkhäuser Basel|год=2004|isbn=978-3-7643-7002-2 |isbn2=978-3-0348-7917-0|ref=Corry}}
| |||