Интеграл Пуассона: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
дополнение |
м Бот: замена устаревшего математического синтаксиса в соответствии с mw:Extension:Math/Roadmap |
||
Строка 123:
== Обобщения ==
По [[теорема Римана об отображении|теореме Римана об области]], связная односвязная область в <math>\
В случае вещественного пространства Лобачевского аналог преобразования Пуассона для [[дифференциальная форма|внешних форм Картана]] был найден [[Гэйяр, Пьер-Ив|П.-И. Гэйяром]]. Оно сопоставляет внешней форме, определённой на абсолюте, гармоническую козамкнутую форму на пространстве Лобачевского. Именно, пространство <math>\Lambda^{n+1} \times S^n</math>, где <math>S^n = \partial \Lambda^{n+1}</math> — абсолют, является однородным пространством для группы <math>\mathrm{SO}(n+1,1)/\mathrm{SO}(n+1)</math>. На нём имеются инвариантные внешние формы <math>\pi_k \in \Omega^{k,n-k}(\Lambda^{n+1} \times S^n)</math> (то есть такие, которые, быть может, принимают ненулевые значения только при подстановке в них <math>k</math> векторных полей, касающихся сомножителя <math>\Lambda^{n+1}</math> и <math>n-k</math> векторных полей, касающихся сомножителя-абсолюта). Если <math>\alpha \in \Omega^{k}(S^n)</math>, то интеграл Пуассона от неё определяется как послойный интеграл внешнего произведения <math>p^*_{S^n}\alpha \wedge \pi_k</math>, где <math>p_{S^n} \colon \Lambda^{n+1} \times S^n \to S^n</math> — проекция на сомножитель. Эти формы, в сущности, являются высшими ядрами Пуассона. Инвариантные формы на однородном пространстве могут быть заданы в одной точке, и взаимно однозначно сооветствуют тривиальным подпредставлениям внешней степени соответствующего [[присоединённое представление|присоединённого представления]] группы, относительно которой пространство однородно; в случае вещественного пространства Лобачевского такие формы единственны с точностью до пропорциональности в силу одномерности соответствующего тривиального подпредставления.
В случае комплексного и кватернионного пространств Лобачевского эти подпредставления уже не одномерны, поэтому определить подобным образом какое-либо каноническое преобразование Пуассона не представляется возможным. Это, однако, возможно с учётом более тонкой геометрической структуры на абсолюте: именно, абсолют <math>S^{2n+1}</math> комплексного пространства Лобачевского <math>\Lambda^{n+1}_{\
== Литература ==
|