Целое алгебраическое число: различия между версиями

'''ЦелымЦелыми алгебраическималгебраическими числомчислами''' называются [[комплексное число|комплексные]] (и в частности [[вещественное число|вещественные]]) [[корень|корни]] [[многочлен]]ов с [[целое число|целыми]] коэффициентами и со старшим коэффициентом единицаравном единице.

Пусть ''<math>u''</math> — некоторое комплексное число. Рассмотрим кольцо '''<math>\mathbb{Z}[u]'''</math>, порождённое добавлением ''<math>u''</math> к кольцу обычных целых чисел '''<math>\mathbb{Z'''}</math>. Оно образовано всевозможными значениями ''<math>f(u)''</math>, где ''<math>f(z)'' -</math> — многочлен с целыми коэффициентами. Тогда имеет место следующий критерий: число ''<math>u''</math> является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда '''<math>\mathbb{Z}[u]''' -</math> — [[конечнопорождённая абелева группа]].

* Для каждого алгебраического числа ''<math>u''</math> существует натуральное число ''<math>n''</math> такое, что ''<math>nu''</math> — целое алгебраическое число.