Эндоморфизм Фробениуса: различия между версиями

Нет изменений в размере ,  11 месяцев назад
м
м (→‎Неподвижные точки: оформление)
 
== Неподвижные точки ==
Рассмотрим конечное поле <math>\mathbb F_p</math>. Согласно [[малая теорема Ферма|малой теореме Ферма]], все элементы этого поля удовлетворяют уравнению <math>x^p=x</math>. Уравнение {{<math|''>p''}}</math>-й степени не может иметь более {{math|''p''}} корней, следовательно, в любом [[расширение поля|расширении]] поля <math>\mathbb F_p</math> неподвижные точки эндоморфизма Фробениуса — это в точности элементы поля <math>\mathbb F_p</math>. Аналогичное утверждение верно для целостных колец характеристики {{<math|''>p''}}</math>.
 
Сходным свойствам удовлетворяют и степени эндоморфизма Фробениуса. Если <math>\mathbb F_{p^k}</math> — конечное поле, все его элементы удовлетворяют уравнению <math>x^{p^k}=x</math> и в любом расширении этого поля элементы исходного поля являются неподвижными точками {{math|''k''}}-й степени эндоморфизма Фробениуса, то есть неподвижными точками <math>x\mapsto x^{p^k}</math>.