Эндоморфизм Фробениуса: различия между версиями

м
оформление
м (→‎Неподвижные точки: оформление)
м (оформление)
'''Эндоморфизм Фробениуса''' — [[эндоморфизм]] [[Коммутативное кольцо|коммутативного кольца]] простой [[характеристика кольца|характеристики]] {{<math|''>p''}}</math>, задаётся формулой <math>x\mapsto x^p</math>. В некоторых случаях, например, в случае [[конечное поле|конечного поля]], эндоморфизм Фробениуса является [[автоморфизм]]ом, однако в общем случае это не так.
 
== Определение и базовые свойства ==
Пусть {{<math|''>R''}}</math> — коммутативное кольцо простой [[характеристика кольца|характеристики]] {{<math|''>p''}}</math> (в частности, таким является любое [[целостное кольцо]] ненулевой характеристики). Эндоморфизм Фробениуса кольца {{<math|''>R''}}</math> определяется формулой <math>F(x)=x^p</math>. Эндоморфизм Фробениуса действительно является [[гомоморфизм колец|гомоморфизмом колец]], так как <math>(xy)^p=x^py^p, (x+y)^p=x^p+y^p</math> (для того, чтобы доказать последнее тождество, достаточно расписать левую часть по формуле [[бином Ньютона|бинома Ньютона]] и заметить, что все биномиальные коэффициенты, кроме первого и последнего, делятся на {{<math|''>p''}}</math>).
 
Если <math>\varphi:R\to S</math> — произвольный гомоморфизм колец простой характеристики {{<math|''>p''}}</math>, то <math>\varphi (x^p)=(\varphi (x))^p</math>, то есть: <math>\varphi \circ F_R = F_S\circ \varphi</math>.
 
Это значит, что эндоморфизм Фробениуса является [[естественное преобразование|естественным преобразованием]] тождественного [[функтор (математика)|функтора]] (на категории коммутативных колец характеристики {{<math|''>p''}}</math>) в себя.
 
Если кольцо {{<math|''>R''}}</math> не содержит нетривиальных [[нильпотент]]ов, то эндоморфизм Фробениуса [[инъективность|инъективен]] (так как его [[ядро (алгебра)|ядро]] нулевое). Легко доказать, что верно и обратное: если <math>x</math> — нетривиальный нильпотент, обнуляющийся начиная со степени <math>n</math>, то <math>(x^{n-1})^p=0</math>. Эндоморфизм Фробениуса не обязательно [[сюръективность|сюръективен]], даже если {{<math|''>R''}}</math> является полем. Например, пусть <math>R=\mathbb F_p(t)</math> — поле рациональных функций с коэффициентами в <math>\mathbb F_p</math>, тогда функция <math>t</math> не лежит в образе эндоморфизма Фробениуса.
 
Поле {{<math|''>K''}}</math> называется [[совершенное поле|совершенным]], если его характеристика равна нулю, либо характеристика положительна и эндоморфизм Фробениуса сюръективен (а следовательно, является автоморфизмом). В частности, все конечные поля являются совершенными.
 
== Неподвижные точки ==
Рассмотрим конечное поле <math>\mathbb F_p</math>. Согласно [[малая теорема Ферма|малой теореме Ферма]], все элементы этого поля удовлетворяют уравнению <math>x^p=x</math>. Уравнение <math>p</math>-й степени не может иметь более {{<math|''>p''}}</math> корней, следовательно, в любом [[расширение поля|расширении]] поля <math>\mathbb F_p</math> неподвижные точки эндоморфизма Фробениуса — это в точности элементы поля <math>\mathbb F_p</math>. Аналогичное утверждение верно для целостных колец характеристики <math>p</math>.
 
Сходным свойствам удовлетворяют и степени эндоморфизма Фробениуса. Если <math>\mathbb F_{p^k}</math> — конечное поле, все его элементы удовлетворяют уравнению <math>x^{p^k}=x</math> и в любом расширении этого поля элементы исходного поля являются неподвижными точками {{<math|''>k''}}</math>-й степени эндоморфизма Фробениуса, то есть неподвижными точками <math>x\mapsto x^{p^k}</math>.
 
== Порождающий элемент группы Галуа ==
[[Группа Галуа]] [[конечное расширение|конечного расширения]] конечного поля является [[циклическая группа|циклической]] и порождается степенью эндоморфизма Фробениуса. Рассмотрим сначала случай, когда основное поле является [[простое поле|простым]]. Пусть <math>\mathbb F_q</math> — конечное поле, где <math>q=p^n</math>. Эндоморфизм Фробениуса <math>F</math> сохраняет элементы простого поля <math>\mathbb F_p</math>, поэтому он является элементом группы Галуа расширения <math>\mathbb F_q\supset \mathbb F_p</math>. Оказывается, что эта группа является циклической и порождается <math>F</math>. Порядок этой группы равен <math>n</math>, так как эндоморфизм <math>x\mapsto x^{q}</math> действует на <math>\mathbb F_q</math> тождественно, а меньшие степени не могут действовать тождественно.
 
В расширении <math>\mathbb F_{q^k}\supset \mathbb F_q</math> основное поле фиксируется {{<math|''>n''}}</math>-й степенью эндоморфизма Фробениуса, группа Галуа расширения порождается <math>F^n</math> и имеет порядок <math>k</math>.
 
== Эндоморфизм Фробениуса для схем ==