Уравнение непрерывности: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
м →Вывод: оформление, пунктуация |
м →Различные формы записи: оформление, орфография, пунктуация |
||
Строка 83:
Уравнение выражает собой [[закон сохранения массы]] в элементарном объёме, то есть связь пространственного изменения потока массы жидкости или газа и скорости изменения плотности со временем. Его дифференциальная форма
: <math>\frac{\partial \rho }{\partial t} + \operatorname{div}\rho \mathbf{v} = \frac{\partial \rho }{\partial t} + \rho \operatorname{div}
где <math>\rho = \rho
Вектор <math>\mathbf{j} = \rho \mathbf{v}</math> называют ''плотностью потока жидкости''. Его направление совпадает с направлением течения жидкости, а абсолютная величина определяет количество вещества, протекающего в единицу времени через единицу площади, расположенную перпендикулярно вектору скорости.
Для однородных [[Несжимаемая жидкость|несжимаемых жидкостей]] <math>\rho = \
: <math>\operatorname{div}
из чего следует [[соленоидальность]] поля скорости.
Для течений в каналах (течения в трубах, кровеносных сосудах и т. п.) уравнение неразрывности может быть записано в терминах [[Среднее значение функции|средних значений]] по поперечному сечению канала. Например, для течения в канале с известной зависимостью площади поперечного сечения <math>S</math> от координаты <math>x</math> вдоль канала, <math>S = S(x)</math>, (приближенное) уравнение неразрывности имеет вид
: <math>S \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\rho v S) = 0,</math>
где <math>\rho = \rho(x, t)</math> и <math>v = v(x, t)</math> суть средние значения плотности и осевой проекции скорости по поперечному сечению. Здесь предполагается, что площадь поперечного сечения канала изменяется достаточно медленно (так называемое ''гидравлическое приближение''), что позволяет при выводе уравнения заменять среднее значение от произведения на произведение от средних. В частном случае стационарного течения отсюда получается уравнение неразрывности в виде
: <math>\rho v S = \
имеющее очевидный физический смысл постоянства потока массы, а в случае среды с постоянной плотностью — уравнение
: <math>v S = \
выражающее постоянство
Аналогичную структуру имеет уравнение неразрывности для течений в каналах со свободной поверхностью, которое широко используется в гидравлике для описания русловых потоков (течения в реках, каналах и проч., движение селей, лавин и т. д.), для описания течений в плёнках и т. п. В простейшем случае течения жидкости с постоянной плотностью в канале с прямоугольным поперечным сечением точное уравнение неразрывности (иногда называемое уравнением [[Сен-Венан, Адемар Жан-Клод Барре де|Сен-Венана]]) имеет вид
: <math>\frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(vh) = 0,</math>
где <math>h = h(x, t)</math> — глубина жидкости, <math>v = v(x, t)</math> — средняя скорость жидкости по поперечному сечению.
В [[Механика твёрдого деформируемого тела|механике деформируемого
: <math>\rho = \rho_0 (1 - \operatorname{div}
где <math>\rho_0</math>, <math>\rho</math> — соответственно начальная и конечная плотности материальной частицы, <math>\mathbf{w}</math> — вектор перемещения (в случае малых перемещений и деформаций с одинаковой степенью точности можно брать дивергенцию как по эйлеровым переменным, так и по лагранжевым).
Уравнение неразрывности имеет универсальный характер и справедливо для любой сплошной среды (вне зависимости от её [[Реология|реологии]]). Имеются обобщения уравнения неразрывности для движений многофазных<ref>{{книга |автор=[[Нигматулин, Роберт Искандерович|Нигматулин Р. И.]] |заглавие=Основы механики гетерогенных сред |место=М. |издательство=Наука |год=1978 |страниц=336}}</ref> и многокомпонентых<ref name="sedov"/> сплошных сред.
=== Историческая справка ===
| |||