Ковариантность и контравариантность (математика): различия между версиями

м
{{конец-глосс}}
в [[Трёхмерное пространство|3-d]] общих ''[[Криволинейная система координат|криволинейных координатах]]'' {{nowrap|(''q''{{sup|1}}, ''q''{{sup|2}}, ''q''{{sup|3}})}}, [[Кортеж_(информатика)|кортеж]] чисел для определения точки в [[Система координат|координатном пространстве]]. Обратите внимание, что базис и кобазис совпадают только тогда, когда базис [[Ортогональный базис|ортогональный]].<ref>
{{cite bookкнига
| titleзаглавие=Gravitation
| publisherиздательство=W.H. Freeman & Co
| author1=J.A. Wheeler
| yearгод=1973
| author2=C. Misner
| isbn=0-7167-0344-0
| author3=K.S. Thorne
|язык=und
| publisher=W.H. Freeman & Co
|автор=J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne
| year=1973
}}</ref>
| isbn=0-7167-0344-0
}}</ref>
]]
Пусть <math>V</math> — некоторое конечномерное [[векторное пространство]], и в нём задан некоторый базис <math>e_i, i=1..n</math>. Произвольный вектор <math>x</math> можно представить как линейную комбинацию векторов базиса: <math>x=\sum^n_{i=1}x_ie_i</math>. В целях упрощения записи (и по причинам, которые станут ясны ниже) обозначим координаты с верхним индексом и примем правило Эйнштейна — если в выражении участвуют одинаковые разноуровневые индексы, то по ним предполагается суммирование. Таким образом, можно записать: <math>x=x^ie_i</math>. Зададим новый базис с помощью матрицы преобразования <math>S</math>. По тем же соображениям введем нижние и верхние индексы (чтобы не писать знаки суммирования) — <math>S^j_i</math>. Тогда <math>e'_i=S^j_ie_j</math> (предполагается суммирование по индексу j). Обозначив обратную матрицу <math>T=S^{-1}</math>, можно записать: <math>e_j=T^i_je'_i</math>. Подставив эту формулу в координатное представление вектора x, получим: <math>x=x^jT^i_je'_i</math>. Таким образом, координаты вектора в новом базисе оказываются равными <math>x'^i=T^i_jx^j</math>, то есть преобразуются «противоположно» (обратно) изменению базиса. По этой причине такие векторы называют '''''контравариантными''''' — изменяющимися противоположно базису. Контравариантные векторы — это обычные векторы. Контравариантные векторы в координатном представлении обычно записывают как «вектор-столбец». Для идентификации контравариантных векторов используется верхний, или ''контравариантный'' индекс.
213 903

правки