Неравенство Йенсена: различия между версиями

: <math>\left(\sum_{i=1}^{n} {q_ix_i}\right)^k \le \sum _{i=1}^{n} {q_ix_i^k}</math>, &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\ q_1,\ldots,q_n>0</math> и <math>\ q_1+\ldots+q_n=1</math>

Обозначим <math>\ q_i=\frac{p_i}{p_1+\ldots+p_n}</math>, где <math>\ p_1,\ldots,p_n </math>- произвольные положительные числа, тогда неравенство запишется в виде

Заменяя здесь <math>\ p_i</math> на <math>\ b_i^{\frac {k}{k-1}}</math> и <math>\ x_i</math> на <math>\frac {a_i}{b_i^{\frac{1}{k-1}}}</math>, получаем известное [[неравенство Гёльдера]]:

: <math>\sum_{i=1}^{n} {a_ib_i} \le \left(\sum _{i=1}^{n} {a_i}^k\right)^\frac{1}{k}\left(\sum _{i=1}^{n} {b_i}^{\frac {k}{k-1}}\right)^\frac{k-1}{k}</math>.