Арифметическая прогрессия: различия между версиями

м (Защитил страницу Арифметическая прогрессия: частый вандализм ([Редактирование=только автоподтверждённые] (истекает 11:33, 25 ноября 2019 (UTC)) [Переименование=только автоподтверждённые] (истекает 11:33, 25 ноября 2019 (UTC))))
: <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>
: где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>d</math> — её разность.
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100%
! Доказательство
|-
| Пользуясь соотношением <math>a_{n+1}=a_n+d</math> выписываем последовательно несколько членов прогрессии:
 
:
<math>a_2=a_1+d</math>
 
<math>a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d</math>
 
<math>a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d</math>
 
<math>a_5=a_4+d=a_1+3d+d=a_1+4d</math>
 
Заметив закономерность, делаем предположение, что <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>. С помощью [[Математическая индукция|математической индукции]] покажем, что предположение верно для всех <math>n \in \mathbb N</math>:
 
'''База''' индукции <math>(n=1)</math> :
 
<math>a_1=a_1+(1-1)d=a_1</math> — утверждение истинно.
 
'''Переход''' индукции:
 
Пусть наше утверждение верно при <math>n=k</math>, то есть <math>a_k=a_1+(k-1)d</math>. Докажем истинность утверждения при <math>n=k+1</math>:
 
<math>a_{k+1}=a_k+d=a_1+(k-1)d+d=a_1+kd</math>
 
Итак, утверждение верно и при <math>n=k+1</math>. Это значит, что <math>a_n=a_1+(n-1)d</math> для всех <math>n \in \mathbb N</math>.
|}
 
=== Характеристическое свойство арифметической прогрессии ===
Последовательность <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> есть арифметическая прогрессия <math>\Leftrightarrow</math> для любого её элемента выполняется условие <math>a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2</math>.
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100%
! Доказательство
|-
| '''Необходимость''':
 
Поскольку <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> — арифметическая прогрессия, то для <math>n \geqslant 2</math> выполняются соотношения:
 
<math>a_n=a_{n-1}+d</math>
 
<math>a_n=a_{n+1}-d</math>.
 
Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим <math>a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2</math>.
 
'''Достаточность''':
 
Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется <math>a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2</math>. Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду <math>a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}</math>. Поскольку соотношения верны при всех <math>n \geqslant 2</math>, с помощью математической индукции покажем, что <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n</math>.
 
'''База''' индукции <math>(n=2)</math> :
 
<math>a_2-a_1=a_3-a_2</math> — утверждение истинно.
 
'''Переход''' индукции:
 
Пусть наше утверждение верно при <math>n=k</math>, то есть <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k</math>. Докажем истинность утверждения при <math>n=k+1</math>:
 
<math>a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}</math>
 
Но по предположению индукции следует, что <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k</math>. Получаем, что <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k=a_{k+2}-a_{k+1}</math>
 
Итак, утверждение верно и при <math>n=k+1</math>. Это значит, что <math>a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2 \Rightarrow a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n</math>.
 
Обозначим эти разности через <math>d</math>. Итак, <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n=d</math>, а отсюда имеем <math>a_{n+1}=a_n+d</math> для <math>n \in \mathbb N</math>. Поскольку для членов последовательности <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> выполняется соотношение <math>a_{n+1}=a_n+d</math>, то это есть арифметическая прогрессия.
|}
 
=== Сумма первых <math>n</math> членов арифметической прогрессии ===
Сумма первых <math>n</math> членов арифметической прогрессии <math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+ \ldots + a_n</math> может быть найдена по формулам
: <math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n</math> , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>a_n</math> — член с номером <math>n</math>, <math>n</math> — количество суммируемых членов.
: <math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot (\frac{a_n-a_1}{a_2-a_1}+1)</math> — где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>a_2</math> — второй член прогрессии <math>, a_n</math> — член с номером <math>n</math>.
: <math>S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}2 \cdot n</math> , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>d</math> — разность прогрессии, <math>n</math> — количество суммируемых членов.
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100%
! Доказательство
Анонимный участник