Шар: различия между версиями

{{значения}}

[[Файл:Sphere 3d.png|thumb|Шар]]

 

'''Шар''' — [[Тело (геометрия)|геометрическое тело]]; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на [[Расстояние|расстоянии]], не больше заданного. Это [[расстояние]] называется ''радиусом шара''. Шар образуется вращением [[полукруг]]а около его неподвижного [[диаметр]]а. Этот [[диаметр]] называется ''осью шара'', а оба конца указанного [[диаметр]]а — ''полюсами шара''. Поверхность шара называется [[сфера|сферой]]: '''замкнутый шар''' включает эту [[Сфера|сферу]], '''открытый шар''' — исключает.

 

=== Замечания ===

Шар радиуса <math>r</math> с центром <math>x_0</math> также называют '''[[ε-окрестность|<math>r</math>-окрестностью]]''' точки <math>x_0</math>.

 

** Например: пусть <math>(X,\rho)</math> — [[дискретное метрическое пространство]], и <math>X</math> состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого <math>x\in X</math> имеем:

: <math>B_1(x) = \{x\},\; \overline{B_1(x)} = \{x\},\; D_1(x) = X.</math>

=== Объём ===

Объём n-мерного шара радиуса ''R''<!-- Почему не диаметра? С диаметром формулы проще. --> в ''n''-мерном евклидовом пространстве:<ref>Equation 5.19.4, ''NIST Digital Library of Mathematical Functions.'' http://dlmf.nist.gov/, Release 1.0.6 of 2013-05-06.</ref>

: <math>V_n(R) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}R^n,</math>

: <math>V_{2k}(R) = \frac{\pi^k}{k!}R^{2k}</math>,

: <math>V_{2k+1}(R) = \frac{2^{k+1}\pi^k}{(2k+1)!!}R^{2k+1} = \frac{2(k!)(4\pi)^k}{(2k+1)!}R^{2k+1}</math>.

 

Обратная функция для выражения зависимости радиуса от объёма:

 

== Примеры ==

* Пусть <math>\mathbb{R}^d</math> — [[евклидово пространство]] с обычным Евклидовым расстоянием. Тогда

:* если <math>d=1</math> (пространство — [[прямая]]), то

* [[Гиперсфера]]

* [[Сферический слой]]

 

== Литература ==