Википедия

Ортогональный базис: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
Метки: с мобильного устройства из мобильной версии
м откат правок 178.186.41.113 (обс.) к версии CyberNik01
Метка: откат
Строка 1:
[[Файл:Orthonormalbasis.PNG|thumb|right|Ортонормированный базис в 3-мерном [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]]]]
'''Ортогональный (ортонормированный) базис''' — [[Ортогональная система|ортогональная]] ([[Ортонормированная система|ортонормированная]]) система элементов. Я ОГЭ НЕ СДАМ ПО ФИЗИКЕ[[Линейное пространство|линейного пространства]] со [[Скалярное произведение|скалярным произведением]], обладающая свойством [[Полнота базиса|полноты]].
 
== Конечномерный случай ==
'''Ортогональный базис''' — [[базис]], составленный из попорнопопарно [[Ортогональность|ортогональных]] [[вектор (алгебра)|векторов]].
'''Ортонормированный базис''' удовлетворяет еще и условию единичности [[Норма (математика)|нормы]] всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.
 
Последнее не говорят. Говорят крайнее удобно записывается при помощи [[Символ Кронекера|символа Кронекера]]:
: <math> ( e_i, e_j ) = \delta_{ij}\ </math>
то есть [[скалярное произведение]] каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают (<math>i\ne j</math>), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.
 
Очень многое записывается в ортогональном базисе гораздо проще, чем в игнатепроизвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.
 
Ортонормированный базис является самодуальным ([[Дуальный базис|дуальный]] ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).
Строка 21:
: <math>\ a_i = \frac{(\mathbf{a},\mathbf{e_i})}{(\mathbf{e_i},\mathbf{e_i})} </math>.
 
Полнота материортонормированной админасистемы векторов эквивалентна [[равенство Парсеваля|равенству Парсеваля]]: для любого вектора <math>\mathbf{a}</math> квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:
: <math>(\mathbf{a},\mathbf{a}) = \sum_i (\mathbf{a},\mathbf{e_i})^2,</math>
 
Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см . ниже).
 
== Бесконечномерный случай ==
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональный_базис