Взаимно простые числа: различия между версиями

исправление
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
(дополнение, источники)
(исправление)
 
== Свойства ==
Числа <math>a</math> и <math>b</math> взаимно просты [[тогда и только тогда]], когда существуют целые <math>x</math> и <math>y</math> такие, что <math>ax + by = 1</math> ([[соотношение Безу]])<ref name=ME/>. Если [[натуральные числа]] <math>a</math> и <math>b</math> взаимно просты, то числа <math>2^a-1</math> и <math>2^b-1</math> также взаимно просты, притом верно и обратное.
 
Дробь является [[Несократимая дробь|несократимой]] тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель взаимно просты.
 
([[Лемма Евклида]]) Если <math>a</math> — делитель произведения <math>bc</math>, и <math>a</math> — взаимно просто с <math>b</math>, то <math>a</math> — делитель <math>c</math>.
 
Если числа <math>a_1, \ldots , a_n</math> — попарно взаимно простые числа, то их [[наименьшее общее кратное]] равно абсолютному значению их произведения: <math>|a_1 \cdot \ldots \cdot a_n|</math>.
 
== Вариации и обобщения ==
Понятия простого числа, наибольшего общего делителя и взаимно простых чисел естественно обобщаются на произвольные [[Евклидово кольцо|евклидовы кольца]], например, на кольцо [[многочлен]]ов или [[гауссовы целые числа]]. Обобщением понятия простого числа является «[[неприводимый элемент]]». Данное выше определение взаимно простых чисел не годится для произвольного евклидова кольце уже не годится, поскольку в кольце могут быть [[Обратимый элемент|делители единицы]]; в частности, НОД определяется с точностью до умножения на делитель единицы. Поэтому определение взаимно простых чисел следует модифицировать<ref name=LARIN>{{книга |автор=Ларин С. В. |заглавие=Алгебра и теория чисел. Группы, кольца и поля: учеб. пособие для академического бакалавриата |место= М. |издательство =Юрайт |год=2018 |страницы=92—93 |страниц=160|издание=2-е изд |серия=Бакалавр. Академический курс|isbn=978-5-534-05567-2 }}</ref>.
:{{рамка}}
Элементы евклидова кольца называются взаимно простыми, если множество их наибольших общих делителей содержит только делители единицы.