Ковариантность и контравариантность (математика): различия между версиями

}}</ref>
]]
Пусть <math>V</math> — некоторое конечномерное [[векторное пространство]], и в нём задан некоторый базис <math>e_i, i=1..n</math>. Произвольный вектор <math>x</math> можно представить как линейную комбинацию векторов базиса: <math>x=\sum^n_{i=1}x_ie_i</math>. В целях упрощения записи (и по причинам, которые станут ясны ниже) обозначим координаты с верхним индексом и примем правило Эйнштейна: если в выражении участвуют одинаковые разноуровневые индексы, то по ним предполагается суммирование. Таким образом, можно записать: <math>x=x^ie_i</math>. Зададим новый базис с помощью матрицы преобразования <math>S</math>. По тем же соображениям введемвведём нижние и верхние индексы (чтобы не писать знаки суммирования) — <math>S^j_i</math>. Тогда <math>e'_i=S^j_ie_j</math> (предполагается суммирование по индексу j). Обозначив обратную матрицу <math>T=S^{-1}</math>, можно записать: <math>e_j=T^i_je'_i</math>. Подставив эту формулу в координатное представление вектора x, получим: <math>x=x^jT^i_je'_i</math>. Таким образом, координаты вектора в новом базисе оказываются равными <math>x'^i=T^i_jx^j</math>, то есть преобразуются «противоположно» (обратно) изменению базиса. По этой причине такие векторы называют '''''контравариантными''''' — изменяющимися противоположно базису. Контравариантные векторы — это обычные векторы. Контравариантные векторы в координатном представлении обычно записывают как «вектор-столбец». Для идентификации контравариантных векторов используется верхний, или ''контравариантный'' индекс.
 
Пространство всех линейных функционалов, отображающих векторы в числа, называют сопряжённым пространством <math>V^*</math>. Оно также является векторным пространством той же размерности, что и основное пространство. В этом пространстве также можно определить базис. Обозначим элементы базиса сопряженного пространства с верхним индексом <math>g^i</math>. Любой функционал можно представить в этом базисе через координаты, которые будем обозначать нижними индексами. Тогда, применяя правило Эйнштейна, можем записать: <math>f=f_ig^i</math>, то есть любой линейный функционал можно записать просто набором чисел <math>f_i</math>, как обычный вектор (за исключением нижнего расположения индекса).
Анонимный участник