Ковариантность и контравариантность (математика): различия между версиями

Пусть <math>V</math> — некоторое конечномерное [[векторное пространство]], и в нём задан некоторый базис <math>e_i, i=1..n</math>. Произвольный вектор <math>x</math> можно представить как линейную комбинацию векторов базиса: <math>x=\sum^n_{i=1}x_ie_i</math>. В целях упрощения записи (и по причинам, которые станут ясны ниже) обозначим координаты с верхним индексом и примем правило Эйнштейна: если в выражении участвуют одинаковые разноуровневые индексы, то по ним предполагается суммирование. Таким образом, можно записать: <math>x=x^ie_i</math>. Зададим новый базис с помощью матрицы преобразования <math>S</math>. По тем же соображениям введём нижние и верхние индексы (чтобы не писать знаки суммирования) — <math>S^j_i</math>. Тогда <math>e'_i=S^j_ie_j</math> (предполагается суммирование по индексу j). Обозначив обратную матрицу <math>T=S^{-1}</math>, можно записать: <math>e_j=T^i_je'_i</math>. Подставив эту формулу в координатное представление вектора x, получим: <math>x=x^jT^i_je'_i</math>. Таким образом, координаты вектора в новом базисе оказываются равными <math>x'^i=T^i_jx^j</math>, то есть преобразуются «противоположно» (обратно) изменению базиса. По этой причине такие векторы называют '''''контравариантными''''' — изменяющимися противоположно базису. Контравариантные векторы — это обычные векторы. Контравариантные векторы в координатном представлении обычно записывают как «вектор-столбец». Для идентификации контравариантных векторов используется верхний, или ''контравариантный'', индекс.

 

 

Выберем базис в сопряженном пространстве так, что <math>g^i(x)=x^i</math>, то есть эти функционалы находят <math>i</math>-ю координату вектора (проекцию на базисный вектор <math>e_i</math>). Такой базис называют ''дуальным'' (базису основного пространства). При смене базиса основного пространства необходимо сохранить это условие, то есть <math>g'^i(x)=x'^i=T^i_jx^j=T^i_jg^j(x)</math>. Таким образом, дуальный базис изменяется обратно изменению основного базиса. Координаты произвольного линейного функционала <math>f_i</math> будут меняться противоположно собственному базису (как и в любом пространстве), то есть с помощью матрицы <math>T^{-1}=S</math>. Следовательно, они будут меняться так, как основной базис. Это свойство называют '''''ковариантностью'''''. Сами линейные функционалы в координатном представлении в дуальном базисе называют ''ковариантными векторами'', или кратко — '''''ковекторами'''''. Внешне ковектор «выглядит» как обычный вектор — в смысле обычного набора чисел, представляющих его координаты. Отличие ковектора от контрвариантного вектора заключается в правиле преобразования его координат при смене базиса: они преобразуются так, как базис, в отличие от контравариантных векторов, преобразующихся противоположно базису. Ковекторы в координатной форме записывают как «вектор-строку». Для идентификации ковекторов используется нижний, или ''ковариантный'', индекс.