Кривизна: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
исправление опечатки |
Kvistrel (обсуждение | вклад) |
||
Строка 58:
[[Файл:Minimal surface curvature planes-ru.svg|thumb|350 px|Плоскости главных кривизн поверхности]]
проблемы отображения? -->
Пусть <math>\Phi</math> есть регулярная поверхность в трёхмерном [[евклидово пространство|евклидовом пространстве]].
Пусть <math>p</math> — точка <math>\Phi,</math> <math>T_p</math> — касательная плоскость к <math>\Phi</math> в точке <math>p,</math> <math>n</math> — единичная нормаль к <math>\Phi</math> в точке <math>p,</math> а <math>\pi_e</math> — плоскость, проходящая через <math>n</math> и некоторый единичный вектор <math>e</math> в <math>T_p.</math> Кривая <math>\gamma_e,</math> получающаяся как пересечение плоскости <math>\pi_e</math> с поверхностью <math>\Phi,</math> называется '''нормальным сечением''' поверхности <math>\Phi</math> в точке <math>p</math> в направлении <math>e.</math>
Величина
:
где <math>\cdot</math> обозначает [[скалярное произведение]], а <math>k</math> — ''вектор кривизны'' <math>\gamma_e</math> в точке <math>p</math>, называется '''нормальной кривизной''' поверхности <math>\Phi</math> в направлении <math>e</math>.
С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой <math>\gamma_e</math>.
В касательной плоскости <math>T_p</math> существуют два перпендикулярных направления <math>e_1</math> и <math>e_2</math> такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой '''формулы Эйлера''':
:
где <math>\alpha</math> — угол между этим направлением и <math>e_1</math>, a величины <math>\kappa_1</math> и <math>\kappa_2</math> нормальные кривизны в направлениях <math>e_1</math> и <math>e_2</math>, они называются '''главными кривизнами''', а направления <math>e_1</math> и <math>e_2</math> — '''главными направлениями''' поверхности в точке <math>p</math>.
Главные кривизны являются [[экстремум|экстремальными]] значениями нормальных кривизн.
| |||