Формула Герона: различия между версиями

-переструктуризация, оформление, упрощения, чуть больше в преамбулу, rev
(-переструктуризация, оформление, упрощения, чуть больше в преамбулу, rev)
'''Фо́рмула Герона''' — позволяетформула вычислитьдля вычисления [[площадь (геометрия)|площадь]] [[треугольник]]а <math>S</math> по длинам его сторонамсторон <math>a, b, c</math>:
: <math>S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},</math>,
 
где <math>p</math> — [[периметр|полупериметр]] треугольника: <math>p = \frac{a + b + c}2</math>.
 
Эта формулаФормула содержится в «Метрике» [[Герон|Герона Александрийского]] (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё [[Архимед]]у). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами,  площади которых тоже являются целыми., Такиетакие треугольники носят название [[Геронов треугольник|героновых треугольников]]., Простейшимпростейшим героновым треугольником является [[египетский треугольник]].
 
{{Hider|
</math>
[[ч.т.д.]]}}
 
== История ==
Эта формула содержится в «Метрике» [[Герон|Герона Александрийского]] (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё [[Архимед]]у). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми. Такие треугольники носят название [[Геронов треугольник|героновых треугольников]]. Простейшим героновым треугольником является [[египетский треугольник]].
 
== Вариации ==
* Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:
:: <math>S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}</math>
:: <math>S = \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}</math>
:: <math>S = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}.</math>
:: <math>S = \frac{1}{4} \sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}.</math>
 
* Формулу Герона можно записать с помощью [[определитель|определителя]] в виде<ref> Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html Heron'sHeron’s Formula.] From MathWorld--A Wolfram Web Resource. </ref>:
*: <math>-16 S^2 = \begin{vmatrix}
0 & a^2 & b^2 & 1 \\
a^2 & 0 & c^2 & 1 \\
\end{vmatrix}
</math>
* Первый определитель последней формулы является частным случаем {{нп3iw|определитель Кэли — Менгера|определителя Кэли — Менгера||Cayley-Menger determinant}} для вычисления гиперобъёма [[симплекс]]а.
 
Ряд формул для площади треугольника сходен по структуре формуле Герона, но выражается через другие параметры треугольника. Например, через длины медиан <math>m_a</math>, <math>m_b</math> и <math>m_c</math> и их полусумму <math>\sigma = (m_a + m_b + m_c)/2</math><ref>Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle, « ''Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324—326.</ref>:
===Аналоги формулы Герона===
:: <math>S = D^\frac{24}{3} \sqrt{s(s-\sinsigma (\alphasigma - m_a)(s-\sinsigma \beta- m_b)(s-\sinsigma \gamma- m_c)}.</math>;
Имеются три формулы, по структуре аналогичные формуле Герона, но выражаемые в терминах других различных параметров треугольника.
* Первая формула выражает площадь через медианы,длины опущенныевысот на стороны ''a'', ''b'' и ''c'', обозначенные соответственно через ''m<submath>ah_a</submath>'', ''m<submath>bh_b</submath>'' и ''m<submath>ch_c</submath>'', еслии полусумму их полусуммаобратных естьвеличин σ<math>H = (h_a^{{nowrap|(''m<sub>a</sub>''-1} + ''m<sub>b</sub>''h_b^{-1} + ''m<sub>ch_c^{-1})/2</submath>'')/2}}. Тогда мы имеем <ref>BenyiMitchell, ArpadDouglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle, " ''Mathematical Gazette"'' 8789, JulyNovember 20032005, 324–326494.</ref>:
*: <math> S^{-1} = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma H(\sigma H- m_ah_a^{-1})(\sigma H- m_bh_b^{-1})(\sigma H-h_c^{- m_c1})}. </math>;
*через Обозначим высоты, проведенные к сторонам ''a'', ''b'' и ''c''углы треугольника соответственно через ''h<submath>a\alpha</submath>'', ''h<submath>b\beta</submath>'' и ''h<submath>c\gamma</submath>'', а полусумму их обратных величин обозначим черезсинусов <math>Hs = (h_a^{-1}\sin \alpha + h_b^{-1}\sin \beta + h_c^{-1}\sin \gamma)/2</math>. Тогдаи имеемдиаметр описанной окружности <math>D = \tfrac{a}{\sin \alpha} = \tfrac{b}{\sin \beta} = \tfrac{c}{\sin \gamma}</math><ref>Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula forin the reciprocal areaterms of asines, triangle," ''Mathematical Gazette'' 8993, NovemberMarch 20052009, 494108—109.</ref> :
:: <math>S S= D^{-12} = 4 \sqrt{Hs(Hs-h_a^{-1}\sin \alpha)(Hs-h_b^{-1}\sin \beta)(Hs-h_c^{-1}\sin \gamma)} .</math>
:или в развернутом виде
::<math>S=\frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}})(\frac{1}{h_{c}}+\frac{1}{h_{b}}-\frac{1}{h_{a}})(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{c}}-\frac{1}{h_{b}})(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}-\frac{1}{h_{c}})}}</math>
* Наконец, обозначим полусумму синусов углов треугольника через {{nowrap|''s'' {{=}} [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2}}, тогда имеем <ref>Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," ''Mathematical Gazette'' 93, March 2009, 108–109.</ref>
::<math>S = D^{2} \sqrt{s(s-\sin \alpha)(s-\sin \beta)(s-\sin \gamma)}.</math>
Здесь через ''D'' обозначен диаметр описанной окружности треугольника: <math>D=\tfrac{a}{\sin \alpha} = \tfrac{b}{\sin \beta} = \tfrac{c}{\sin \gamma}.</math>
 
*Сходные Площадьформулы возможны и для более сложных фигур, например площадь вписанного в окружность [[четырёхугольник]]а вычисляется по '''[[Формула Брахмагупты|формуле Брахмагупты]]''':
== Обобщения ==
*: <math>S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},</math>,
* Площадь вписанного в окружность [[четырёхугольник]]а вычисляется по '''[[Формула Брахмагупты|формуле Брахмагупты]]''':
*где <math>p=\frac{a+b+c+d}2</math> — полупериметр четырёхугольника; в данном случае треугольник оказывается предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Та же '''[[Формулаформула Брахмагупты]]''' через определитель<ref>Стариков В. Н.  Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39</ref>:
*: <math>S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},</math>
*: <math>S= \frac{1}{4} \sqrt{- \begin{vmatrix}
: где <math>p=\frac{a+b+c+d}2</math> — '''полупериметр''' четырёхугольника. (Треугольник является предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Например, при ''d''=0)
* Та же '''[[Формула Брахмагупты]]''' через определитель<ref>Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39</ref>:
*: <math>S= \frac{1}{4} \sqrt{- \begin{vmatrix}
a & b & c & -d \\
b & a & -d & c \\
-d & c & b & a
\end{vmatrix}}
</math>
* Для [[тетраэдр]]ов верна [[формула Герона — Тарталья]], которая обобщена также на случай других многогранников (см. [[изгибаемые многогранники]]): если у [[тетраэдр]]а длины рёбер равны <math>l_1, l_2, l_3, l_4, l_5, l_6</math>, то для его объёма <math>V</math> верно выражение
*: <math>144 V^2 = l_1^2 l_5^2 (l_2^2 + l_3^2 + l_4^2 + l_6^2 - l_1^2 - l_5^2) </math><math>+ l_2^2 l_6^2(l_1^2 + l_3^2 + l_4^2 + l_5^2 - l_2^2 - l_6^2) </math><math>+ l_3^2 l_4^2 (l_1^2 + l_2^2 + l_5^2 + l_6^2 - l_3^2 - l_4^2) </math><math>- l_1^2 l_2^2 l_4^2 - l_2^2 l_3^2 l_5^2 - l_1^2 l_3^2 l_6^2 - l_4^2 l_5^2 l_6^2</math>.
* Предыдущая формула может быть выписана для тетраэдра в явном виде: Если {{math|''U''}}, {{math|''V''}}, {{math|''W''}}, {{math|''u''}}, {{math|''v''}}, {{math|''w''}} являются длинами ребер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и , например, ребро {{math|''u''}} противоположно ребру {{math|''U''}} и т.д.), тогда справедливы формулы <ref>W. Kahan, "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?". April 3, 2012 [http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/VtetLang.pdf], pp. 16-17.</ref> <ref> Маркелов С. Формула для объема тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132 </ref>
*:<math>
\text{V} = \frac{\sqrt {\,( - a + b + c + d)\,(a - b + c + d)\,(a + b - c + d)\,(a + b + c - d)}}{192\,u\,v\,w}</math>
: где
:: <math>
\begin{align} a & = \sqrt {xYZ} \\ b & = \sqrt {yZX} \\ c & = \sqrt {zXY} \\ d & = \sqrt {xyz} \\ X & = (w - U + v)\,(U + v + w) \\ x & = (U - v + w)\,(v - w + U) \\ Y & = (u - V + w)\,(V + w + u) \\ y & = (V - w + u)\,(w - u + V) \\ Z & = (v - W + u)\,(W + u + v) \\ z & = (W - u + v)\,(u - v + W). \end{align}
</math>
 
* Для [[тетраэдр]]ов верна [[формула Герона — ТартальяТартальи]], которая обобщена также на случай других многогранников (см. [[изгибаемые многогранники]]): если у [[тетраэдр]]а длины рёбер равны <math>l_1, l_2, l_3, l_4, l_5, l_6</math>, то для его объёма <math>V</math> верно выражение:
== Для сферического треугольника ==
: <math>\begin{align}144 V^2 = \;\; & l_1^2 l_5^2 (l_2^2 + l_3^2 + l_4^2 + l_6^2 - l_1^2 - l_5^2) \\
* ''Теорема [[Люилье, Симон|Люилье]].'' Площадь [[сферический треугольник|сферического треугольника]] выражается через его стороны <math>\theta_a = \frac{a}{R}, \theta_b = \frac{b}{R}, \theta_c = \frac{c}{R}</math> как:
+ & l_2^2 l_6^2 (l_1^2 + l_3^2 + l_4^2 + l_5^2 - l_2^2 - l_6^2) \\
*: <math>S = 4R^2\,\operatorname{arctg}\sqrt{ \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)} </math>, где <math>\theta_s = \frac{\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}</math> — полупериметр.
+ & l_3^2 l_4^2 (l_1^2 + l_2^2 + l_5^2 + l_6^2 - l_3^2 - l_4^2) \\
- & l_1^2 l_2^2 l_4^2 - l_2^2 l_3^2 l_5^2 - l_1^2 l_3^2 l_6^2 - l_4^2 l_5^2 l_6^2
\end{align}</math>.
 
*Формула Герона Предыдущая формулаТартальи может быть выписана для тетраэдра в явном виде: Еслиесли {{<math|''>U''}}</math>, {{<math|''>V''}}</math>, {{<math|''>W''}}</math>, {{<math|''>u''}}</math>, {{<math|''>v''}}</math>, {{<math|''>w''}}</math> являются длинами реберрёбер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и , например, ребро {{<math|''>u''}}</math> противоположно ребру {{<math|''>U''}}</math> и т.д. так далее), тогда справедливы формулы <ref>W. Kahan, "«What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?". April 3», 2012 [http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/VtetLang.pdf], pp. 16-17.</ref> <ref> Маркелов С. Формула для объемаобъёма тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132 </ref>:
*: <math>
\text{V} = \frac{\sqrt {\,( - a + b + c + d)\,(a - b + c + d)\,(a + b - c + d)\,(a + b + c - d)}}{192\,u\,v\,w}</math>
где:
:: <math>
\begin{align} a & = \sqrt {xYZ} \\ b & = \sqrt {yZX} \\ c & = \sqrt {zXY} \\ d & = \sqrt {xyz} \\ X & = (w - U + v)\,(U + v + w) \\ x & = (U - v + w)\,(v - w + U) \\ Y & = (u - V + w)\,(V + w + u) \\ y & = (V - w + u)\,(w - u + V) \\ Z & = (v - W + u)\,(W + u + v) \\ z & = (W - u + v)\,(u - v + W). \end{align}
</math>.
 
*По ''Теорематеореме [[Люилье, Симон|Люилье]].'' Площадьплощадь [[сферический треугольник|сферического треугольника]] выражается через его стороны <math>\theta_a = \frac{a}{R}, \theta_b = \frac{b}{R}, \theta_c = \frac{c}{R}</math> как:
== См. также ==
*: <math>S = 4R^2\,\operatorname{arctg}\sqrt{ \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)} </math>, где <math>\theta_s = \frac{\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}</math> — полупериметр.
* [[Теорема котангенсов]]
где <math>\theta_s = \frac{\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}</math> — полупериметр.
 
== Примечания ==
{{примечания}}
 
== Литература ==
* § 258 в {{cite arXiv|author=А. П. Киселёв|eprint=1806.06942 |class=math.HO |title=Геометрия по Киселёву|version=v3}}
* {{статья |автор= Николаев Н.|заглавие= О площади треугольника|ссылка= http://vofem.ru/ru/articles/10803/|язык= ru|издание= [[В.О.Ф.Э.М.]]|год= 1890|номер= 108|страницы= 227—228}}
* {{статья
|заглавие=A Simpler Proof of Heron's Formula
|издание=[[Mathematics Magazine]]
|автор=Raifaizen, Claude H.
|год=1971
|тип=magazine}}  — доказательство формулы Герона на основе теоремы Пифагора
 
{{Треугольник}}